名古屋工業大学 大学院
工学研究科 情報工学系
2020年度 問題31 数理科学2

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I

(1)

$$\begin{align} P(X=k) &= \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{5} \left( \frac{5}{6} \right)^k \end{align}$$

(2)

$$\begin{align} M(t) &= \sum_{k=1}^\infty e^{tk} P(X=k) \\ &= \frac{1}{5} \sum_{k=1}^\infty e^{tk} \left( \frac{5}{6} \right)^k \\ &= \frac{1}{5} \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{5}{6} e^t \right)^k \\ &= \frac{1}{5} \frac{5}{6} e^t \frac{1}{1 - \frac{5}{6} e^t } \\ &= \frac{e^t}{6 - 5 e^t } \end{align}$$

(3)

$$\begin{align} M'(t) &= \frac{6 e^t}{\left( 6 - 5 e^t \right)^2 } \end{align}$$

(4)

$$\begin{align} E[X] = M'(0) = 6 \end{align}$$

(5)

$$\begin{align} M''(t) &= \frac{6 e^t \left( 6 + 5 e^t \right) }{\left( 6 - 5 e^t \right)^3 } \end{align}$$ であるから、 $$\begin{align} E[X^2] = M''(0) = 66 \end{align}$$ より、 $$\begin{align} V[X] = E[X^2] - E[X]^2 = 30 \end{align}$$