埼玉大学 大学院 理工学研究科
数理電子情報専攻 情報工学プログラム
2021年9月実施 専門基礎科目

• 問題はこちらから入手してください。
• 以下の解答はドラフト版です。
• 環境によっては、数式の表示に時間がかかる場合があります。

3.

(a)

(1)

\begin{align} \mathbb{E}[X] &= \lambda \int_0^\infty x e^{- \lambda x} dx \\ &= - \left[ x e^{- \lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- \lambda x} dx \\ &= - \frac{1}{\lambda} \left[ e^{- \lambda x} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align}

(2)

\begin{align} \mathbb{E} \left[ X^2 \right] &= \lambda \int_0^\infty x^2 e^{- \lambda x} dx \\ &= - \left[ x^2 e^{- \lambda x} \right]_0^\infty + 2 \int_0^\infty x e^{- \lambda x} dx \\ &= \frac{2}{\lambda^2} \\ \mathrm{Var} \left[ X \right] &= \mathbb{E} \left[ X^2 \right] - \mathbb{E}[X]^2 \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \end{align}

(3)

\begin{align} \mathrm{Pr} \left( X \geq a \right) &= \lambda \int_a^\infty e^{- \lambda x} dx \\ &= - \left[ e^{- \lambda x} \right]_a^\infty \\ &= e^{- \lambda a} \end{align}

(4)

\begin{align} \mathrm{Pr} \left( X \geq a+b \mid X \geq a \right) &= \frac{\mathrm{Pr} \left( X \geq a+b \text{ and } X \geq a \right)}{\mathrm{Pr} \left( X \geq a \right)} \\ &= \frac{\mathrm{Pr} \left( X \geq a+b \right)}{\mathrm{Pr} \left( X \geq a \right)} \\ &= \frac{e^{-\lambda(a+b)}}{e^{-\lambda a}} \\ &= e^{-\lambda b} \end{align}

(5)

求める確率密度関数 $g(z)$ は、 $z \gt 0$ のとき、 \begin{align} g(z) &= \int_{- \infty}^\infty f_{\lambda_A} (z-b) \ f_{\lambda_B} (b) \ db \\ &= \lambda_A \lambda_B \int_0^z e^{- \lambda_A (z-b)} e^{- \lambda_B b} \ db \\ &= \lambda_A \lambda_B e^{- \lambda_A z} \int_0^z e^{(\lambda_A - \lambda_B)b} \ db \\ &= \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} e^{- \lambda_A z} \left[ e^{(\lambda_A - \lambda_B)b} \right]_0^z \\ &= \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} \left( e^{- \lambda_B z} - e^{- \lambda_A z} \right) \end{align} であり、 $z \leq 0$ のとき $g(z)=0$ である。