\begin{align} \frac{d}{dx} W[y_1,y_2](x) &= \frac{d}{dx} \left( y_1(x)y'_2(x) - y'_1(x)y_2(x) \right) \\ &= y'_1(x)y'_2(x) + y_1(x)y''_2(x) - y''_1(x)y_2(x) - y'_1(x)y_2'(x) \\ &= y_1(x) \left( -P(x)y'_2(x) - Q(x)y_2(x) \right) - \left( -P(x)y'_1(x) - Q(x)y_1(x) \right) y_2(x) \\ &= -P(x) \left( y_1(x)y'_2(x) - y'_1(x)y_2(x) \right) \\ &= -P(x) W[y_1,y_2](x) \end{align}
(1) と同様に \begin{align} \frac{d}{dx} W[y_3,y_4](x) &= -P(x) W[y_3,y_4](x) \end{align} が成り立つ。 よって、 $W[y_3,y_4](x) \ne 0$ であるような $x$ について \begin{align} \frac{d}{dx} \frac{W[y_1,y_2](x)}{W[y_3,y_4](x)} &= \frac{\left( \frac{d}{dx} W[y_1,y_2](x) \right) W[y_3,y_4](x) - W[y_1,y_2](x) \left( \frac{d}{dx} W[y_3,y_4](x) \right)} {\left( W[y_3,y_4](x) \right)^2} \\ &= \frac{ -P(x) W[y_1,y_2](x) W[y_3,y_4](x) + P(x) W[y_1,y_2](x) W[y_3,y_4](x)} {\left( W[y_3,y_4](x) \right)^2} \\ &= 0 \end{align} が成り立つので、 $W[y_1,y_2](x)$ と $W[y_3,y_4](x)$ の比は $x$ に依らない。