\begin{align} Q &= \sum_{i=1}^n \left( y_i - \alpha - \beta x_i \right)^2 \end{align} とおくと、 \begin{align} \frac{\partial Q}{\partial \alpha} &= -2 \sum_{i=1}^n \left( y_i - \alpha - \beta x_i \right) \\ \frac{\partial Q}{\partial \beta} &= -2 \sum_{i=1}^n x_i \left( y_i - \alpha - \beta x_i \right) \end{align} であるから、最小二乗推定量 $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ は、次を満たす： \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \hat{\alpha} - \hat{\beta} x_i \right) &= 0 \tag{a} \\ \sum_{i=1}^n x_i \left( y_i - \hat{\alpha} - \hat{\beta} x_i \right) &= 0 \tag{b} \end{align} これらは、最小二乗残差 $ \hat{u}_i = y_i - \hat{\alpha} - \hat{\beta} x_i $ を使うと、次のように書ける： \begin{align} \sum_{i=1}^n \hat{u}_i &= 0 \tag{a'} \\ \sum_{i=1}^n x_i \hat{u}_i &= 0 \tag{b'} \end{align} よって、次がわかる： \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right) \hat{u}_i &= \sum_{i=1}^n x_i \hat{u}_i - \bar{x} \sum_{i=1}^n \hat{u}_i \\ &= 0 \end{align}
$ \bar{u} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \hat{u}_i $ と書くと、 式 (a') より $ \bar{u} = 0 $ であるから、次が成り立つ： \begin{align} \bar{y} &= \hat{\alpha} + \hat{\beta} \bar{x} + \bar{u} \\ &= \hat{\alpha} + \hat{\beta} \bar{x} \end{align} よって、次が成り立つ： \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 &= \sum_{i=1}^n \left( \hat{\alpha} + \hat{\beta} x_i + \hat{u}_i - \left( \hat{\alpha} + \hat{\beta} \bar{x} \right) \right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \hat{\beta} \left( x_i - \bar{x} \right) + \hat{u}_i \right)^2 \\ &= \hat{\beta}^2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 + 2 \hat{\beta} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right) \hat{u}_i \\ &= \hat{\beta}^2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1-1) } ) \end{align}
(1-2) で得た \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 &= \hat{\beta}^2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 \end{align} の各項は $0$ 以上であるから、 \begin{align} 0 \leq \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 \leq \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \end{align} であり、 $\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \ne 0$ を仮定すると、 \begin{align} 0 \leq 1 - \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2}{ \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2} \leq 1 \end{align} を得る。
\begin{align} Q' &= \sum_{i=1}^n \left( y_i - \beta' x_i \right)^2 \end{align} とおくと、 \begin{align} \frac{\partial Q'}{\partial \beta'} &= -2 \sum_{i=1}^n x_i \left( y_i - \beta' x_i \right) \end{align} であるから、最小二乗推定量 $\hat{\beta}'$ は、次を満たす： \begin{align} \sum_{i=1}^n x_i \left( y_i - \hat{\beta}' x_i \right) &= 0 \end{align} これらは、最小二乗残差 $ \hat{u}_i' = y_i - \hat{\beta} x_i $ を使うと、次のように書ける： \begin{align} \sum_{i=1}^n x_i \hat{u}'_i &= 0 \end{align} よって、 \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right) \hat{u}'_i &= \sum_{i=1}^n x_i \hat{u}'_i - \bar{x} \sum_{i=1}^n \hat{u}'_i \\ &= - \bar{x} \sum_{i=1}^n \hat{u}'_i \end{align} となるが、最後の表式は必ずしも $0$ ではないので、 題意の式は必ずしも成立しない。
$ \bar{u}' = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \hat{u}'_i $ と書くと、 \begin{align} \bar{y} &= \hat{\beta}' \bar{x} + \bar{u}' \end{align} であり、 \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 &= \sum_{i=1}^n \left( \hat{\beta}' x_i + \hat{u}'_i - \left( \hat{\beta}' \bar{x} + \bar{u}' \right) \right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \hat{\beta}' \left( x_i - \bar{x} \right) + \hat{u}'_i - \bar{u}' \right)^2 \\ &= \hat{\beta}'^2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2 + n \bar{u}'^2 + 2 \hat{\beta}' \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right) \hat{u}'_i - 2 \hat{\beta}' \bar{u}' \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right) - 2 \bar{u}' \sum_{i=1}^n \hat{u}'_i \\ &= \hat{\beta}'^2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2 - n \bar{u}'^2 - 2 n \hat{\beta}' \bar{x} \bar{u}' \end{align} が成り立つ。 $\bar{u}'$ は必ずしも $0$ ではないので、題意の式は必ずしも成立しない。
\begin{align} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \geq 0 , \ \ \sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2 \geq 0 \end{align} が成り立つので、 $\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \ne 0$ を仮定すると、 \begin{align} \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2} {\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2} &\geq 0 \\ \therefore \ \ 1 - \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2} {\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2} &\leq 1 \end{align} を得る。 また、 \begin{align} \sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2 \leq \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \end{align} は必ずしも成り立たないので、 \begin{align} 0 \leq 1 - \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i'^2} {\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar{y} \right)^2} \end{align} は必ずしも成り立たない。
$\cdot$ の期待値を $E[\cdot]$ 分散を $V[\cdot]$ で表す。
\begin{align} E \left[ \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \right] &= \sigma^2 E \left[ \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \right)^2 \right] \\ &= \sigma^2 (n-1) \end{align}
\begin{align} V \left[ \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \right] &= \sigma^4 V \left[ \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \right)^2 \right] \\ &= 2 \sigma^4 (n-1) \end{align}
$ W_i-a = \left( W_i - E \left[ W_i \right] \right) + \left( E \left[ W_i \right] - a \right) $ の両辺を2乗すると、 \begin{align} \left( W_i - a \right)^2 = \left( W_i - E \left[ W_i \right] \right)^2 + \left( E \left[ W_i \right] - a \right)^2 + 2 \left( W_i - E \left[ W_i \right] \right) \left( E \left[ W_i \right] - a \right) \end{align} であり、 \begin{align} E \left[ \left( W_i - a \right)^2 \right] &= E \left[ \left( W_i - E \left[ W_i \right] \right)^2 \right] + \left( E \left[ W_i \right] - a \right)^2 + 2 \left( E \left[ W_i \right] - E \left[ W_i \right] \right) \left( E \left[ W_i \right] - a \right) \\ &= E \left[ \left( W_i - E \left[ W_i \right] \right)^2 \right] + \left( E \left[ W_i \right] - a \right)^2 \\ &= V \left[ W_i \right] + \left( E \left[ W_i \right] - a \right)^2 \end{align} を得る。
\begin{align} E \left[ \left\{ c \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 - \sigma^2 \right\}^2 \right] &= V \left[ c \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \right] + \left( E \left[ c \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \right] - \sigma^2 \right)^2 \\ &= 2 c^2 \sigma^4 (n-1) + \left( c \sigma^2 (n-1) - \sigma^2 \right)^2 \\ &= \sigma^4 \left[ (n+1)(n-1)c^2 - 2(n-1)c + 1 \right] \end{align}
\begin{align} E \left[ \left\{ c \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 - \sigma^2 \right\}^2 \right] &= \sigma^4 (n+1)(n-1) \left( c^2 - \frac{2}{n+1} c \right) + \sigma^4 \\ &= \sigma^4 (n+1)(n-1) \left( c - \frac{1}{n+1} \right)^2 - \sigma^4 \frac{n-1}{n+1} + \sigma^4 \end{align} なので、求める $c$ の値は $c=1/(n+1)$ である。