$V$ の定義における $x_1, x_2, x_3, x_4$ に関する与えられた3つの式を整理すると、 \begin{align} x_1 &= - x_3 + 2 x_4 \\ x_2 &= - x_3 - 2 x_4 \end{align} となるので、 \begin{align} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x_3 + 2 x_4 \\ - x_3 - 2 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} となる。 したがって、 $V$ は2次元で、 \begin{align} v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} はその基底である。
(1) と同様に考えると、 $W$ も2次元で、 \begin{align} w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} , \ \ w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} はその基底である。
そこで、 $v_1, v_2, w_1, w_2$ について考えると、 \begin{align} w_1 = v_1 + v_2 + 3 w_2 \end{align} が成り立ち、また、 $w_2$ は $v_1, v_2$ の線形結合で表すことができない。 したがって、 $U$ は3次元であり、 $v_1, v_2, w_2$ はその基底である。