\begin{align} \lim_{t \ \downarrow \ 0} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= \lim_{t \ \downarrow \ 0} \left( 2 x(t) - 2 \right) = -2 \\ \lim_{t \to \infty} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= \lim_{t \to \infty} \left( 2 x(t) - 2 \right) = 0 \end{align}
(D) の2番目の式を $t$ で2回微分して、1番目の式を使うと、 \begin{align} \frac{d^4 y(t)}{dt^4} - 2 \cdot \left( - 2 y(t) \right) &= 0 \\ \therefore \ \ \frac{d^4 y(t)}{dt^4} + 4 y(t) &= 0 \end{align} を得る。
$y(t) = e^{kt}$ を (2) で得た微分方程式に代入すると、 特性方程式 \begin{align} k^4 + 4 = 0 \end{align} を得る。 したがって、特性根は、 \begin{align} k = 1+i, 1-i, -1+i, -1-i \end{align} である。
(2) で得た微分方程式の独立な特殊解は、 (3) より、 \begin{align} e^{(1+i)t}, e^{(1-i)t}, e^{(-1+i)t}, e^{(-1-i)t} \end{align} であるが、実数値関数の \begin{align} e^t \sin t, e^t \cos t, e^{-t} \sin t, e^{-t} \cos t \end{align} も同様である。 したがって、実数解 $y(t)$ は、実数 $A, B, C, D$ を使って、 \begin{align} y(t) = A e^t \sin t + B e^t \cos t + C e^{-t} \sin t + D e^{-t} \cos t \end{align} と書ける。
条件 $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$ より $A=B=0$ であり、 条件 $\lim_{t \ \downarrow \ 0} y(t) = 0$ より $D=0$ であることがわかる。 よって、 \begin{align} y(t) = C e^{-t} \sin t \end{align} となり、 \begin{align} \frac{dy(t)}{dt} &= C e^{-t} (\cos t - \sin t) \\ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= -2C e^{-t} \cos t \end{align} となる。 ここで、条件 $\lim_{t \ \downarrow \ 0} d^2 y(t) / dt^2 = -2$ より $C=1$ がわかり、 \begin{align} y(t) &= e^{-t} \sin t \\ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} &= -2 e^{-t} \cos t \end{align} を得る。 これは、条件 $\lim_{t \to \infty} d^2 y(t) / dt^2 = 0$ を満たす。
また、このとき、 \begin{align} x(t) &= \frac{1}{2} \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 1 \\ &= - e^{-t} \cos t + 1 \end{align} となる。
以上より、求める実数解 $x(t), y(t)$ は、 \begin{align} x(t) &= - e^{-t} \cos t + 1 \\ y(t) &= e^{-t} \sin t \end{align} である。