まず、確率を $P$ で表すと、 \begin{align} P(a \leq X \leq b) &= \int_a^b f(x|\lambda) dx \\ &= \lambda \int_a^b \exp ( -\lambda x) dx \\ &= \exp(-\lambda a) - \exp(-\lambda b) \\ P(a \leq Y \leq b) &= \exp \left( - \frac{a}{\lambda} \right) - \exp \left( -\frac{b}{\lambda} \right) \end{align} である。 そこで、 $Z$ の確率分布関数を $G(z)$ とすると、 \begin{align} G(z) &= P(Z \leq z) \\ &= P(X \leq z \text{ and } Y \leq z) + P(X \leq z \leq Y) + P(Y \leq z \leq X) \\ &= P(X \leq z) P(Y \leq z) + P(X \leq z) P(z \leq Y) + P(Y \leq z) P(z \leq X) \\ &= \left( 1 - \exp (- \lambda z) \right) \left( 1 - \exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right) \right) + \left( 1 - \exp (- \lambda z) \right) \exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right) + \left( 1 - \exp \left(- \frac{z}{\lambda} \right) \right) \exp (- \lambda z) \end{align} となるから、 $Z$ の確率密度関数 $g(z)$ は、 \begin{align} g(z) &= \frac{d G(z)}{dz} \\ &= \left( \lambda + \lambda^{-1} \right) \exp \left( - \left( \lambda + \lambda^{-1} \right) z \right) \\ &= \mu \exp \left( - \mu z \right) \end{align} となる。ここで、 $\mu = \lambda + \lambda^{-1}$ とした。
よって、平均を $E$, 分散を $V$ で表すと、 \begin{align} E[Z] &= \int_0^\infty z g(z) dz \\ &= \mu \int_0^\infty z \exp \left( - \mu z \right) dz \\ &= \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\lambda + \lambda^{-1}} \\ E[Z^2] &= \int_0^\infty z^2 g(z) dz \\ &= \mu \int_0^\infty z^2 \exp \left( - \mu z \right) dz \\ &= \frac{2}{\mu^2} = \frac{2}{\left( \lambda + \lambda^{-1} \right)^2} \\ V[Z] &= E[Z^2] - E[Z]^2 \\ &= \frac{1}{\mu^2} = \frac{1}{\left( \lambda + \lambda^{-1} \right)^2} \end{align} を得る。
$Z$ の観測値を $z_1, z_2, \cdots, z_n$ とし、 その平均を \begin{align} \bar{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_i \end{align} とする。 対数尤度関数 $l$ は、 \begin{align} l &= \sum_{i=1}^n \log g(z_i) \\ &= \sum_{i=1}^n \log \left( \mu \exp \left( - \mu z_i \right) \right) \\ &= n \log \mu - \mu \sum_{i=1}^n z_i \\ &= n \log \mu - \mu n \bar{z} \\ \therefore \ \ \frac{dl}{d \mu} &= \frac{n}{\mu} - n \bar{z} \end{align} であるから、 $\mu$ の最尤推定量 $\hat{\mu}$ は、 \begin{align} \hat{\mu} = \frac{1}{\bar{z}} \end{align} であることがわかる。
\begin{align} \frac{d \mu}{d \lambda} &= 1 - \frac{1}{\lambda^2} \end{align} であるから、 $\lambda \gt 1$ において、 $\mu$ は $\lambda$ の単調増加関数である。 よって、 $\lambda$ の最尤推定量 $\hat{\lambda}$ は、 \begin{align} \hat{\lambda} + \frac{1}{\hat{\lambda}} = \hat{\mu} \end{align} を満たし、 \begin{align} \hat{\lambda} &= \frac{1}{2} \left( \hat{\mu} + \sqrt{\hat{\mu}^2 - 4} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\bar{z}} + \sqrt{\frac{1}{\bar{z}^2} - 4} \right) \end{align} を得る。 ただし、これは $\bar{z} \leq 1/2$ のときであり、 $\bar{z} \gt 1/2$ のときは、 \begin{align} \hat{\lambda} = 1 \end{align} である。