まず、 $y(0)=0$ から $C_0=0$ がわかる。 よって、 \begin{align} y(x) &= \sum_{k=1}^\infty C_k x^k \\ \frac{dy(x)}{dx} &= \sum_{k=1}^\infty k C_k x^{k-1} \end{align} となる。 これを与えられた微分方程式に代入すると、 \begin{align} \sum_{k=1}^\infty k C_k x^{k-1} + \sum_{k=1}^\infty (-2 C_k) x^{k+1} = 2x^3 \tag{A} \end{align} となる。
(A)式の定数項に注目すると、 $1 C_1 = 0$ であるから、 $C_1=0$ がわかる。
(A)式の $x$ の項に注目すると、 $2C_2=0$ であるから、 $C_2=0$ がわかる。
(A)式の $x^2$ の項に注目すると、 $3C_3-2C_1=0$ であるから、 $C_1=0$ より $C_3=0$ がわかる。
(A)式の $x^3$ の項に注目すると、 $4C_4-2C_2=2$ であるから、 $C_2=0$ より $C_4=1/2$ がわかる。
$j$ を非負の整数とする。 (A)式の $x^{2j+2}$ の項に注目すると、 \begin{align} (2j+3) C_{2j+3} - 2 C_{2j+1} &= 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ C_{2j+3} &= \frac{2}{2j+3} C_{2j+1} \end{align} がわかる。 さらに $C_1=0$ であるから、 \begin{align} C_{2j+1} &= 0 \end{align} がわかる。
$j$ を $2$ 以上の整数とする。 (A)式の $x^{2j+1}$ の項に注目すると、 \begin{align} (2j+2) C_{2j+2} - 2 C_{2j} &= 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ C_{2j+2} &= \frac{1}{j+1} C_{2j} \end{align} がわかる。 さらに $C_4=1/2$ であるから、 \begin{align} C_{2j} &= \frac{1}{j!} \end{align} がわかる。
(1), (2), (3) より、 \begin{align} y(x) &= \sum_{j=2}^\infty \frac{1}{j!} x^{2j} \\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \left( x^2 \right)^j - \left( 1 + x^2 \right) \\ &= \exp \left( x^2 \right) - x^2 - 1 \end{align} を得る。 これが与えられた微分方程式と条件を満たすことも確かめられる。