$f$ は正則関数であるから、コーシー-リーマンの方程式が成り立つ： \begin{align} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2+ay^2 \\ \therefore \ \ v &= 3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + w(x) . \end{align} ここで、 $w(x)$ は $y$ にはよらない $x$ の関数である。 この $u,v$ を、 コーシー-リーマンのもう1つの方程式 \begin{align} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{align} に代入して、次を得る： \begin{align} 2axy = -6xy - w'(x) . \end{align} よって、 $a=-3, w(x)=C$ （定数）であることがわかる。 よって、次もわかる： \begin{align} v = 3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + C . \end{align}