大阪大学 大学院 基礎工学研究科
システム創成専攻 電子光科学
2020年度 電子光科学 [I-3]

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以下、積分定数を $C$ と書く。

(1)

\begin{align} \int \cos^2 x dx &= \int \frac{\cos 2x + 1}{2} dx \\ &= \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{2} x + C \end{align}

(2)

\begin{align} \int x \sin x dx &= - \int x (\cos x)' dx \\ &= - x \cos x + \int \cos x dx \\ &= - x \cos x + \sin x + C \end{align}

(3)

\begin{align} \int x^2 \cos x dx &= \int x^2 (\sin x)' dx \\ &= x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx \\ &= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C \end{align}

(4)

$x = \tan \theta$ とおいて、次のように計算できる： \begin{align} \int \frac{dx}{(1+x^2)^2} &= \int \frac{1}{(1 + \tan^2 \theta)^2} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \\ &= \int \cos^2 \theta d \theta \\ &= \frac{1}{4} \sin 2 \theta + \frac{1}{2} \theta + C \\ &= \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C \end{align}