\begin{align} u(x) = x^2 , \ \ v(x) = x , \ \ w(x) = 1 \end{align}
\begin{align} T(u(x)) &= T(x^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \\ &= u(x) + 2v(x) + w(x) \\ T(v(x)) &= T(x) = x+1 \\ &= v(x) + w(x) \\ T(w(x)) &= T(1) = 1 \\ &= w(x) \end{align} であるから、 \begin{align} \begin{pmatrix} T(u(x)) & T(v(x)) & T(w(x)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u(x) & v(x) & w(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align} であり、求める表現行列は、 \begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align} である。
$A$ の固有値は $1$ であり、対応する固有ベクトルは、 \begin{align} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} である。