$z$ が線分OB上にあるとすると、 \begin{align} z &= t e^{i \pi / 4} \\ z^2 &= t^2 e^{i \pi / 2} = i t^2 \\ f(z) &= e^{- i t^2} \end{align} である。
求める積分を $I$ とすると、 \begin{align} I^2 &= \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-y^2} dy \\ &= \int_0^{\pi/2} d \theta \int_0^\infty dr r e^{-r^2} \ \ \ \ \text{(2次元極座標)} \\ &= \frac{\pi}{2} \left[ - \frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{4} \\ \therefore \ \ I &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align} である。
まず、 \begin{align} C &= \int_0^\infty \cos (x^2) dx \\ S &= \int_0^\infty \sin (x^2) dx \end{align} とおくと、 (1) より、 \begin{align} \int_{\mathrm{BO}} f(z) dz &= \int_r^0 e^{- it^2} \frac{1+i}{\sqrt{2}} dt \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^r \left( \left( \cos (t^2) + \sin (t^2) \right) + i \left( \cos (t^2) - \sin (t^2) \right) \right) dt \\ &\xrightarrow{r \to \infty} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right) \end{align} となる。
$f(z)$ は正則関数であるから、 \begin{align} \int_{\mathrm{OA}} f(z) dz + \int_{\mathrm{AB}} f(z) dz + \int_{\mathrm{BO}} f(z) dz = 0 \end{align} が成り立つが、 $r \to \infty$ とすると、 \begin{align} \frac{\sqrt{\pi}}{2} + 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (C+S) + i (C-S) \right) = 0 \end{align} となり、 \begin{align} C = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{2}} \end{align} を得る。