$k=1,2,\cdots$ について、 $k$ 階導関数は \begin{align} f^{(k)}(x) &= e^x \end{align} であり、 $x=a$ における $k$ 階微分係数は \begin{align} f^{(k)}(a) &= e^a \end{align} なので、 \begin{align} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} (x-a)^k \end{align} である。
\begin{align} f(x) &= a^x \\ &= e^{x \log a} \\ \therefore \ \ f'(x) &= e^{x \log a} \cdot \log a \\ &= a^x \log a \end{align}
\begin{align} \mathrm{grad} \ h(x,y) = \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \boldsymbol{j} \end{align}
等高線 $h(x,y)=c$ 上の点 $(X,Y)$ における接線の方程式は、 \begin{align} \frac{\partial h(X,Y)}{\partial x} (x-X) + \frac{\partial h(X,Y)}{\partial y} (y-Y) = 0 \end{align} であるが、これは $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ とベクトル $ (x-X) \boldsymbol{i} + (y-Y) \boldsymbol{j}$ が直交していることを意味し、 つまり、 $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ と等位線が $(X,Y)$ において直交していることを意味する。
特性方程式は、 \begin{align} \lambda^2 - 5 \lambda + 4 = 0 \end{align} であり、特性根は、 \begin{align} \lambda = 1, 4 \end{align} である。
特殊解として、定数解 \begin{align} y = \frac{k}{4} \end{align} があるのは明らかなので、 (i) を考慮し、任意定数を $A, B$ として、 \begin{align} y = A e^x + B e^{4x} + \frac{k}{4} \end{align} が一般解である。
実際、これは、 \begin{align} y' &= A e^x + 4B e^{4x} \\ y'' &= A e^x + 16B e^{4x} \end{align} となり、 \begin{align} y'' - 5 y' + 4 y = k \end{align} を満たす。