\begin{align} f(z) = \frac{z e^{irz}}{z^2 + m^2} = \frac{z e^{irz}}{(z+im)(z-im)} \end{align} であるから、 $z=im,-im$ が1位の極であり、それぞれにおける留数は、 \begin{align} \lim_{z \to im} (z-im) f(z) = \frac{1}{2} e^{-rm} , \ \ \lim_{z \to -im} (z+im) f(z) = \frac{1}{2} e^{rm} \end{align} である。
留数定理より、 \begin{align} \int_{C_1+C_2} f(z) dz = 2 \pi i \cdot \frac{1}{2} e^{-rm} = i \pi e^{-rm} \end{align} である。
$C_2$ 上の $z$ は $z=Re^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \leq \pi)$ と書け、 $dz = iRe^{i \theta} d \theta$ なので、 \begin{align} \int_{C_2} f(z) dz &= \int_0^\pi \frac{R e^{i \theta} e^{irR \exp(i \theta)}}{R^2 e^{2i \theta} + m^2} \cdot iR e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } d \theta \end{align} であり、 \begin{align} \left| \int_{C_2} f(z) dz \right| &\leq \int_{C_2} \left| f(z) \right| \left| dz \right| \\ &= \int_0^\pi \left| \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } \right| d \theta \\ &\to 0 \ \ (R \to 0) \end{align} である。
(b), (c) より、 \begin{align} \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} f(z) dz = i \pi e^{-rm} \end{align} であるが、 $m=1$ とすると、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty \frac{k e^{ik}}{k^2+1} dk = i \pi e^{-r} \end{align} となり、これの両辺の虚部を考えると、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty \frac{k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r} \end{align} したがって、 \begin{align} \int_0^\infty \frac{2k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r} \end{align} を得る。