まず、与えられた微分方程式に $y = A \sin x + B \cos x$ （ $A,B$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} (2A+4B) \sin x + (-4A+2B) \cos x = \cos x \end{align} となって、 $A=-1/5, B=1/10$ を得るので、 \begin{align} y = - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \end{align} は特殊解である。
次に、 \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{align} に $y = e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - 4 \lambda + 3 &= 0 \\ (\lambda-1)(\lambda-3) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 3 \end{align} を得るので、 \begin{align} y = C e^x + D e^{3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{align} はこの微分方程式の一般解である。
以上より、 \begin{align} y = C e^x + D e^{3x} - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{align} は与えられた微分方程式の一般解である。