$A$ の列ベクトル \begin{align} \boldsymbol{a}_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix} , \boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix} 3a-3b+14 \\ a-b+4 \end{pmatrix} , \boldsymbol{a}_3 = \begin{pmatrix} 15 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align} を見ると、 $\boldsymbol{a}_3 = -3 \boldsymbol{a}_1$ であるが、 $a,b$ が何であっても $\boldsymbol{a}_2$ は $\boldsymbol{a}_1$ の実数倍で表せない。 したがって、 $A$ の像は2次元であり、核 $V$ は1次元である。
核 $V$ を求めるために、次のようにおく： \begin{align} \begin{pmatrix} -5 & 3a-3b+14 & 15 \\ -2 & a-b+4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} これが成り立つのは $-x+3z=0,y=0$ のときであり、 したがって、 $V$ の基底はたとえば、 \begin{align} \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} である。
$B$ の列ベクトルを次のように書く： \begin{align} \boldsymbol{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \boldsymbol{b}_2 = \begin{pmatrix} -3a-b \\ 3a+b \\ 3a+b \end{pmatrix} = (3a+b) \boldsymbol{b}'_2 \end{align} ここで、 \begin{align} \boldsymbol{b}'_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} であり、 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2$ は1次独立である。
$3a+b=0$ のときは、 $W$ は1次元であり、 $\boldsymbol{b}_1$ が基底になる。
$3a+b \neq 0$ のときは、 $W$ は2次元であり、 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2$ が基底になる。
$\boldsymbol{v}$ は (1) の通りとし、 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}'_2$ は (2) の通りとする。
$\boldsymbol{v}, \boldsymbol{b}_1$ は1次独立なので、 $3a+b=0$ のときは、 $V+W$ は $V$ と $W$ の直和になる。
$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{b}_1 - 2 \boldsymbol{b}'_2$ なので、 $3a+b \neq 0$ のときは、 $V+W$ は $V$ と $W$ の直和にならない。
したがって、求める条件は $3a+b=0$ である。