$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 1 & 0 \\ 4 & -1 - \lambda & 0 \\ -3 & 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda + 3)(\lambda - 1)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= -3, 1 \end{align} を得る。 固有値 $-3$ に対応する固有ベクトルを求めるため、 \begin{align} \begin{pmatrix} -1+3 & 1 & 0 \\ 4 & -1+3 & 0 \\ -3 & 2 & 1+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $2x+y=0, -3x+2y+4z=0$ なので、 \begin{align} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align} は固有値 $-3$ に属する固有ベクトルである。 固有値 $1$ に対応する固有ベクトルを求めるため、 \begin{align} \begin{pmatrix} -1-1 & 1 & 0 \\ 4 & -1-1 & 0 \\ -3 & 2 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $-2x+y=0, -3x+2y=0$ したがって $x=y=0$ なので、 \begin{align} \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} は固有値 $1$ に属する固有ベクトルである。 固有値 $1$ に属する $\boldsymbol{v}_2$ と1次独立な固有ベクトルは存在しない。 固有値 $1$ に属する広義固有空間（一般固有空間）の $\boldsymbol{v}_2$ と1次独立なベクトルを求めるため、 \begin{align} \begin{pmatrix} -1-1 & 1 & 0 \\ 4 & -1-1 & 0 \\ -3 & 2 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $-2x+y=0, -3x+2y=1$ したがって $x=1, y=2$ なので、 \begin{align} \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} は固有値 $1$ に属する広義固有空間（一般固有空間）の $\boldsymbol{v}_2$ と1次独立なベクトルであり、 \begin{align} A \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_3 \end{align} を満たす。
以上より、 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$ は $\mathbb{R}^3$ の基底であり、 \begin{align} A \boldsymbol{v}_1 = -3 \boldsymbol{v}_1 , \ \ A \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_2 , \ \ A \boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_3 \end{align} を満たす。 したがって、任意の $\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3$ に対して \begin{align} \boldsymbol{v} = a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{align} であるような $a,b,c \in \mathbb{R}$ が一意的に存在し、 \begin{align} A \boldsymbol{v} &= -3a \boldsymbol{v}_1 + (b+c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ,\\ A^2 \boldsymbol{v} &= 9a \boldsymbol{v}_1 + (b+2c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{align} が成り立つ。 $a \ne 0$ かつ $b \ne 0$ かつ $c \ne 0$ のときは、 $\boldsymbol{v}, A \boldsymbol{v}, A^2 \boldsymbol{v}$ は1次独立なので、 このような $\boldsymbol{v}$ は求める2次元部分空間に含まれない。 さらに、 \begin{align} A (a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 ) &= -3a \boldsymbol{v}_1 + b \boldsymbol{v}_2 ,\\ A (a \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ) &= -3a \boldsymbol{v}_1 + c \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ,\\ A (b \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 ) &= (b+c) \boldsymbol{v}_2 + c \boldsymbol{v}_3 \end{align} であるから、求める2次元部分空間は、 「 $\boldsymbol{v}_1$ と $\boldsymbol{v}_2$ によって張られる部分空間」 と 「 $\boldsymbol{v}_2$ と $\boldsymbol{v}_3$ によって張られる部分空間」 の2つであることがわかる。