$y_1, y_2, \cdots, y_N$ は独立で、 $y_k$ は期待値 $ax_k^2+bx_k+c$ 分散 $\sigma^2$ の正規分布 であるから、求める尤度 $L$ は、 \begin{align} L &= \prod_{k=1}^N \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left[ - \frac{(y_k - (ax_k^2+bx_k+c))^2}{2 \sigma^2} \right] \\ &= \left( 2 \pi \sigma^2 \right)^{-N/2} \exp \left[ - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{k=1}^N \left( y_k - (ax_k^2+bx_k+c) \right)^2 \right] \end{align} である。
\begin{align} L &= \left( 2 \pi \sigma^2 \right)^{-N/2} \exp \left[ - \frac{J}{2 \sigma^2} \right] \end{align} であるから、 $J$ を最小とする $a,b,c$ は、 $L$ を最大にするので、最尤推定量である。