\begin{align} y &= x \sqrt{x} = x^\frac{3}{2} \\ \therefore \ \ \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} x^\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{x} \end{align}
$0 \lt x \lt 2$ であり、 $x-1 = \sin \theta \ (-\pi/2 \lt \theta \lt \pi/2)$ とおくと、 $dx = \cos \theta d \theta$ であるから、次のように計算できる： \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx &= \int \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx \\ &= \int \frac{1}{|\cos \theta|} \cos \theta d \theta \\ &= \int d \theta \\ &= \theta + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \arcsin (x-1) + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}
$A$ の行列式は \begin{align} \det A &= 6-6-6-2 \\ &= -8 \end{align} であり、余因子行列は \begin{align} \tilde{A} &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & -8 & 0 \\ 2 & -6 & 2 \\ -6 & 6 & -2 \end{pmatrix} \end{align} であるから、逆行列は \begin{align} A^{-1} &= \frac{1}{\det A} \tilde{A} \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{align} である。
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、次のように計算できる： \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -\lambda & 2 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 3 & -3 & 1-\lambda \end{pmatrix} \\ &= - \lambda^3 + 2 \lambda^2 + 4 \lambda - 8 \\ &= -(\lambda+2)(\lambda-2)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= -2, 2 \end{align}
\begin{align} F = \mu mg \end{align}
時間を $t$ で表す。 物体がつり合いの位置にあるときのバネの伸びを $d$ とすると \begin{align} mg = kd \end{align} である。 物体のつり合いの位置を原点とし鉛直下向きに x 軸をとると、 物体の運動方程式は \begin{align} m \frac{d^2x}{dt^2} &= mg - k(x+d) \\ &= -kx \end{align} である。 これの一般解は \begin{align} x = A \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) + B \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるから、 \begin{align} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ T &= \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \end{align} がわかる。
運動方程式は \begin{align} m \frac{dv}{dt} &= mg \\ \therefore \ \ \frac{dv}{dt} &= g \end{align} であり、 $t=0$ で $v=v_0$ であることを考慮すると \begin{align} v = gt + v_0 \end{align} がわかり、 $t=0$ で $x=0$ であることを考慮すると \begin{align} x = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t \end{align} がわかる。