\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{ - e^{-(x+y)} \left( (x-y)^2 + a^2 \right) - e^{-(x+y)} \cdot 2(x-y) }{ \left( (x-y)^2 + a^2 \right)^2 } \\ &= \frac{ - e^{-(x+y)} \left( (x-y)^2 + a^2 + 2(x-y) \right)} { \left( (x-y)^2 + a^2 \right)^2 } \end{align}
\begin{align} x = \frac{1}{2} (u+v), \ \ y = \frac{1}{2} (-u+v) \end{align} なので、 \begin{align} \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \end{align} である。
\begin{align} I &= \iint_D f(x,y) dx dy \\ &= \iint_E \frac{e^{-v}}{u^2 + a^2} \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| du dv \\ &= \frac{1}{2} \iint_E \frac{e^{-v}}{u^2 + a^2} du dv \\ &= \frac{1}{2} \int_0^a e^{-v} dv \int_0^a \frac{du}{u^2 + a^2} \\ &= \frac{1}{2} \left[ -e^{-v} \right]_0^a \cdot \frac{1}{a} \int_0^\frac{\pi}{4} d \theta \ \ \ \ \ \ \ \ (u = a \tan \theta) \\ &= \frac{\pi}{8a} \left( 1 - e^{-a} \right) \end{align}
\begin{align} \lim_{a \to +0} I &= \frac{\pi}{8} \lim_{a \to +0} \frac{ 1 - e^{-a} }{a} \\ &= \frac{\pi}{8} \lim_{a \to +0} \frac{ e^{-a} }{1} \\ &= \frac{\pi}{8} \end{align}
\begin{align} P^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ PJP^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda - 2 & 1 \\ -2 \lambda & \lambda \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda - 2 & 1 \\ -4 & \lambda + 2 \end{pmatrix} \\ &= A \end{align}
$n=1$ のとき題意が成り立つ。 $n=k \ (k = 1, 2, \cdots)$ のとき \begin{align} J^k &= \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \end{align} が成り立つとすると、 \begin{align} J^{k+1} &= J J^k \\ &= \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^{k+1} & (k+1) \lambda^k \\ 0 & \lambda^{k+1} \end{pmatrix} \end{align} となるので $n=k+1$ のときも題意が成り立つ。 したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ について題意が成り立つ。
\begin{align} A^n &= PJP^{-1} \cdot PJP^{-1} \cdot \cdots \cdot PJP^{-1} \\ &= P J^n P^{-1} \end{align} であり、 \begin{align} A^n &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^n - 2n \lambda^{n-1} & n \lambda^{n-1} \\ -2 \lambda^n & \lambda^n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^n - 2n \lambda^{n-1} & n \lambda^{n-1} \\ -4n \lambda^n & \lambda^n + 2n \lambda^{n-1} \end{pmatrix} \end{align} である。
\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \lambda^{n-1}} A^n &= \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} \frac{\lambda}{n} - 2 & 1 \\ -4 & \frac{\lambda}{n} + 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \end{align}