\begin{align} P^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ PJP^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda - 2 & 1 \\ -2 \lambda & \lambda \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda - 2 & 1 \\ -4 & \lambda + 2 \end{pmatrix} \\ &= A \end{align}
$n=1$ のとき題意が成り立つ。 $n=k \ (k = 1, 2, \cdots)$ のとき \begin{align} J^k &= \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \end{align} が成り立つとすると、 \begin{align} J^{k+1} &= J J^k \\ &= \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^k & k \lambda^{k-1} \\ 0 & \lambda^k \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^{k+1} & (k+1) \lambda^k \\ 0 & \lambda^{k+1} \end{pmatrix} \end{align} となるので $n=k+1$ のときも題意が成り立つ。 したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ について題意が成り立つ。
\begin{align} A^n &= PJP^{-1} \cdot PJP^{-1} \cdot \cdots \cdot PJP^{-1} \\ &= P J^n P^{-1} \end{align} であり、 \begin{align} A^n &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^n - 2n \lambda^{n-1} & n \lambda^{n-1} \\ -2 \lambda^n & \lambda^n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda^n - 2n \lambda^{n-1} & n \lambda^{n-1} \\ -4n \lambda^n & \lambda^n + 2n \lambda^{n-1} \end{pmatrix} \end{align} である。
\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \lambda^{n-1}} A^n &= \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} \frac{\lambda}{n} - 2 & 1 \\ -4 & \frac{\lambda}{n} + 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \end{align}