山梨大学 大学院 医工農学総合教育部
工学専攻 機械工学コース
2023年度 微分方程式

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問 5

(1)

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial y} (2x-3y) &= -3 \\ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{y^2} - 3x \right) &= -3 \end{align}$$ であるから、与えられた微分方程式は完全であり、 $$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2x-3y \tag{a} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{1}{y^2} - 3x \tag{b} \end{align}$$ を満たす関数 $f(x,y)$ を見つければよい。 式 (a) から、 $$\begin{align} f(x,y) &= x^2 - 3xy + g(y) \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $g(y)$ は $y$ の適当な関数 )} \tag{c} \end{align}$$ がわかり、式 (c) を式 (b) に代入して整理すると、 $$\begin{align} \frac{dg}{dy} &= \frac{1}{y^2} \\ \therefore \ \ g(y) &= - \frac{1}{y} + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \\ \therefore \ \ f(x,y) &= x^2 - 3xy - \frac{1}{y} + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{align}$$ がわかる。 よって、 $$\begin{align} x^2 - 3xy - \frac{1}{y} + C = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{align}$$ は与えられた微分方程式の一般解である。

(2)

与えられた微分方程式に $y=Ax^2+Bx^2+C$ ( $A,B,C$ は $x$ によらない定数 ) を代入して整理すると、 $$\begin{align} A=1, \ B=2, \ C = - \frac{4}{3} \end{align}$$ を得るので、 $$\begin{align} y = x^2 + 2x - \frac{4}{3} \end{align}$$ は与えられた微分方程式の特殊解であることがわかる。