山梨大学 大学院 医工農学総合教育部
工学専攻 機械工学コース
2023年度 微分積分




問 3

(a)

\begin{align} \int_1^2 \frac{dx}{(x+1)^2} &= \left[ - \frac{1}{x+1} \right]_1^2 \\ &= - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{6} \end{align}

(b)

\begin{align} \int_{-1}^1 e^{-2x} dx &= \left[ - \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{-1}^1 \\ &= - \frac{1}{2} \left( e^{-2} - e^2 \right) \\ &= \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \end{align}



問 4

$f(x)$ の導関数は \begin{align} f'(x) &= \cos x + \cos 3x \\ &= \cos x + \cos (x+2x) \\ &= \cos x + \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x \\ &= \cos x + \cos x \left( 2 \cos^2 x - 1 \right) - 2 \sin^2 x \cos x \\ &= 4 \cos x \left( \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \end{align} なので、 $f'(x)=0$ となるのは $\cos x = 0, \pm 1/\sqrt{2}$ のときであり、次の増減表を得る: \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} & \cdots & \frac{3\pi}{4} & \cdots & \pi \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \searrow & \frac{2}{3} & \nearrow & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \searrow & 0 \\ \hline \end{array} よって、 $f(x)$ の極値は \begin{align} f \left( 0 \right) &= 0 \\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) &= \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) &= \frac{2}{3} \\ f \left( \frac{3\pi}{4} \right) &= \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ f \left( \pi \right) &= 0 \end{align} である。