熱力学の第一法則より、微小な準静過程において \begin{align} dU = d'Q - d'W \end{align} が成り立つ。 ここで、 $d'Q$ は系が受け取る熱であり、熱力学の第二法則より、 \begin{align} d'Q = TdS \end{align} である。 また、 $d'W$ は系がなす仕事であり、 \begin{align} d'W = PdV \end{align} である。 以上より、 \begin{align} dU = TdS - PdV \end{align} が成り立つことがわかる。
\begin{align} \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &= T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - P \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ 式 (3) } ) \\ &= T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ Maxwell の関係式 } ) \end{align}
理想気体の状態方程式は、 $a$ を適当な定数として \begin{align} P = \frac{aT}{V} \end{align} であるから、式 (2) より \begin{align} \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &= T \frac{a}{V} - \frac{aT}{V} \\ &= 0 \end{align} がわかる。