与えられた微分方程式は変数分離型で、次のように一般解を求められる： \begin{align} \frac{dy}{y} &= \frac{4}{3} \frac{dx}{x} \\ \therefore \ \ y &= C x^{\frac{4}{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align}
$z=y^2$ とおくと、 \begin{align} \frac{dz}{dx} &= 2y \frac{dy}{dx} \\ &= 2y \left( \frac{2y}{3x} + \frac{2x}{y} \right) \\ &= \frac{4}{3} \frac{z}{x} + 4x \end{align} となる。 (1) を考慮して、 $z=f(x)x^{\frac{4}{3}}$ とおくと、 \begin{align} \frac{df(x)}{dx} &= 4 x^{-\frac{1}{3}} \\ f(x) &= 6 x^{\frac{2}{3}} + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} を得る。 $x=1$ のとき $y=3, z=9$ であるから $f(1)=9$ であり、 $C=3$ を得る。 よって、求める解は \begin{align} y = \sqrt{6x^2 + 3x^{\frac{4}{3}}} \end{align} である。 （ $y = - \sqrt{6x^2 + 3x^{\frac{4}{3}}}$ は条件 $y(1)=3$ を満たさない。）