\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} \\ &= \frac{1}{6} \end{align}
\begin{align} \lim_{x \to \infty} x \left( a^\frac{1}{x} - 1 \right) &= \lim_{y \to +0} \frac{a^y - 1}{y} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( y = \frac{1}{x} \right) \\ &= \lim_{y \to +0} \frac{a^y \log a}{1} \\ &= \log a \end{align}
\begin{align} \lim_{x \to +0} \log \left( \frac{1}{x} \right)^x &= \lim_{x \to +0} x \log \left( \frac{1}{x} \right) \\ &= \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( y = \frac{1}{x} \right) \\ &= \lim_{y \to \infty} \frac{\frac{1}{y}}{1} \\ &= 0 \\ \therefore \ \ \lim_{x \to +0} \left( \frac{1}{x} \right)^x &= 1 \end{align}
\begin{align} \frac{dx}{dt} &= 1 - 3t^2 = -3 \left( t - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \left( t + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) , \\ \frac{dy}{dt} &= -4t^3 \end{align} なので、 $t$ に対する $x,y$ の増減表は次のようになる： \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline t & -\infty & \cdots & -1 & \cdots & - \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & 1 & \cdots & \infty \\ \hline dx/dt & & - & & - & 0 & + & & + & 0 & - & & - & \\ \hline dy/dt & & + & & + & & + & 0 & - & & - & & - & \\ \hline x & \infty & \searrow & 0 & \searrow & - \frac{2}{3 \sqrt{3}} & \nearrow & 0 & \nearrow & \frac{2}{3 \sqrt{3}} & \searrow & 0 & \searrow & - \infty \\ \hline y & - \infty & \nearrow & 0 & \nearrow & & \nearrow & 1 & \searrow & & \searrow & 0 & \searrow & - \infty \\ \hline \end{array} よって、曲線がy軸に関して対称であることを考慮して、 求める面積は、 \begin{align} S &= -2 \int_0^1 x \frac{dy}{dt} dt \\ &= 8 \int_0^1 t^3 \left( t - t^3 \right) dt \\ &= 8 \int_0^1 \left( t^4 - t^6 \right) dt \\ &= 8 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} \right]_0^1 \\ &= \frac{16}{35} \end{align} である。