$y=\sqrt{x}$ として、次のように計算できる： \begin{align} \int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx &= \int_0^1 \frac{2 \log y}{y} \cdot 2y dy \\ &= 4 \int_0^1 \log y \ dy \\ &= 4 \left[ y \log y \right]_0^1 - 4 \int_0^1 dy \\ &= -4 \end{align}
与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると \begin{align} (\lambda - 3)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ \ \ \lambda &= 3 \end{align} を得るので、独立な特殊解として、 $e^{3x}, xe^{3x}$ を得る。 よって、一般解は \begin{align} y = Ae^{3x} + Bxe^{3x} \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。 （これが与えられた微分方程式を満たすことは簡単に確かめられる。）
与えられた微分方程式に $y=Cx^2e^{3x}$ を代入すると $C=1/2$ を得るので、 $(1/2)x^2e^{3x}$ は特殊解である。 よって、(1) を考慮して、一般解は \begin{align} y = Ae^{3x} + Bxe^{3x} + \frac{1}{2} x^2 e^{3x} \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} であることがわかる。 （これが与えられた微分方程式を満たすことは簡単に確かめられる。）
$k=0, \pm1, \pm2, \cdots$ として、フーリエ係数は \begin{align} c_k &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi f(t) e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \end{align} なので、 \begin{align} c_0 &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ dt \\ &= - \frac{1}{2 \pi} \left[ \cos t \right]_0^\pi \\ &= \frac{1}{\pi} \\ c_{\pm 1} &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{\mp it} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \left( \cos t \mp i \sin t \right) dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \left( \frac{1}{2} \sin t \cos t \mp i \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \left( \frac{1}{2} \sin 2t \mp i \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{4 \pi} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2t \mp i \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) \right]_0^\pi \\ &= \mp \frac{i}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ (複合同順) \end{align} であり、 $k = \pm 2, \pm 3, \cdots$ について \begin{align} c_k &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \\ &= - \frac{1}{2 \pi} \left[ \cos t \ e^{-ikt} \right]_0^\pi - \frac{ik}{2 \pi} \int_0^\pi \cos t \ e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left( e^{-i \pi k} + 1 \right) - \frac{ik}{2 \pi} \left[ \sin t \ e^{-ikt} \right]_0^\pi + \frac{k^2}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left( e^{-i \pi k} + 1 \right) + k^2 c_k \\ \therefore \ \ c_k &= \frac{e^{-i \pi k} + 1}{2 \pi (1-k^2)} \\ &= \begin{cases} 0 &( k \text{ は奇数} ) \\ \frac{1}{\pi(1-k^2)} &( k \text{ は偶数} ) \end{cases} \end{align} である。 よって、 $f(t)$ のフーリエ級数展開式は、 \begin{align} f(t) &= \frac{1}{\pi} - \frac{i}{4} e^{it} + \frac{i}{4} e^{-it} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1-4n^2} \left( e^{2int} + e^{-2int} \right) \\ &= \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \sin t - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2nt}{4n^2-1} \end{align} である。
(1) で得たフーリエ級数展開式において、 $t=\pi/2$ とすると、 \begin{align} 1 &= \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1} \end{align} となるので、 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1} &= \frac{2 - \pi}{4} \end{align} を得る。
与えられた行列の列ベクトル \begin{align} \boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ c \end{bmatrix} , \ \ \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} -a \\ 0 \\ b \end{bmatrix} , \ \ \boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} -c \\ -b \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} について、 $abc \neq 0$ なので \begin{align} \boldsymbol{w} = \frac{b}{a} \boldsymbol{u} - \frac{c}{a} \boldsymbol{v} \end{align} と書けるが、 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ は互いの実数倍では表せないので一次独立である。 よって、求める階数は $2$ である。
与えられた連立一次方程式の拡大係数行列 \begin{align} \begin{bmatrix} 0 & -a & -c & a-c \\ a & 0 & -b & a-b \\ c & b & 0 & c-b \end{bmatrix} \end{align} は、行基本変形によって、次のようにできる： \begin{align} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{b}{a} & \frac{a-b}{a} \\ 0 & 1 & \frac{c}{a} & \frac{-a+c}{a} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{(a-b)c}{a} \end{bmatrix} \end{align} よって、解をもつのは $a=b$ のときであり、このときの解の自由度は $1$ である。