与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると \begin{align} (\lambda - 3)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ \ \ \lambda &= 3 \end{align} を得るので、独立な特殊解として、 $e^{3x}, xe^{3x}$ を得る。 よって、一般解は \begin{align} y = Ae^{3x} + Bxe^{3x} \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。 （これが与えられた微分方程式を満たすことは簡単に確かめられる。）
与えられた微分方程式に $y=Cx^2e^{3x}$ を代入すると $C=1/2$ を得るので、 $(1/2)x^2e^{3x}$ は特殊解である。 よって、(1) を考慮して、一般解は \begin{align} y = Ae^{3x} + Bxe^{3x} + \frac{1}{2} x^2 e^{3x} \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} であることがわかる。 （これが与えられた微分方程式を満たすことは簡単に確かめられる。）