$k=0, \pm1, \pm2, \cdots$ として、フーリエ係数は \begin{align} c_k &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi f(t) e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \end{align} なので、 \begin{align} c_0 &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ dt \\ &= - \frac{1}{2 \pi} \left[ \cos t \right]_0^\pi \\ &= \frac{1}{\pi} \\ c_{\pm 1} &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{\mp it} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \left( \cos t \mp i \sin t \right) dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \left( \frac{1}{2} \sin t \cos t \mp i \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \left( \frac{1}{2} \sin 2t \mp i \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{4 \pi} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2t \mp i \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) \right]_0^\pi \\ &= \mp \frac{i}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ (複合同順) \end{align} であり、 $k = \pm 2, \pm 3, \cdots$ について \begin{align} c_k &= \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \\ &= - \frac{1}{2 \pi} \left[ \cos t \ e^{-ikt} \right]_0^\pi - \frac{ik}{2 \pi} \int_0^\pi \cos t \ e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left( e^{-i \pi k} + 1 \right) - \frac{ik}{2 \pi} \left[ \sin t \ e^{-ikt} \right]_0^\pi + \frac{k^2}{2 \pi} \int_0^\pi \sin t \ e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left( e^{-i \pi k} + 1 \right) + k^2 c_k \\ \therefore \ \ c_k &= \frac{e^{-i \pi k} + 1}{2 \pi (1-k^2)} \\ &= \begin{cases} 0 &( k \text{ は奇数} ) \\ \frac{1}{\pi(1-k^2)} &( k \text{ は偶数} ) \end{cases} \end{align} である。 よって、 $f(t)$ のフーリエ級数展開式は、 \begin{align} f(t) &= \frac{1}{\pi} - \frac{i}{4} e^{it} + \frac{i}{4} e^{-it} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1-4n^2} \left( e^{2int} + e^{-2int} \right) \\ &= \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \sin t - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2nt}{4n^2-1} \end{align} である。
(1) で得たフーリエ級数展開式において、 $t=\pi/2$ とすると、 \begin{align} 1 &= \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1} \end{align} となるので、 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1} &= \frac{2 - \pi}{4} \end{align} を得る。