与えられた行列の列ベクトル \begin{align} \boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ c \end{bmatrix} , \ \ \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} -a \\ 0 \\ b \end{bmatrix} , \ \ \boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} -c \\ -b \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} について、 $abc \neq 0$ なので \begin{align} \boldsymbol{w} = \frac{b}{a} \boldsymbol{u} - \frac{c}{a} \boldsymbol{v} \end{align} と書けるが、 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ は互いの実数倍では表せないので一次独立である。 よって、求める階数は $2$ である。
与えられた連立一次方程式の拡大係数行列 \begin{align} \begin{bmatrix} 0 & -a & -c & a-c \\ a & 0 & -b & a-b \\ c & b & 0 & c-b \end{bmatrix} \end{align} は、行基本変形によって、次のようにできる： \begin{align} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{b}{a} & \frac{a-b}{a} \\ 0 & 1 & \frac{c}{a} & \frac{-a+c}{a} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{(a-b)c}{a} \end{bmatrix} \end{align} よって、解をもつのは $a=b$ のときであり、このときの解の自由度は $1$ である。