$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ は互いに実数倍ではないので 1次独立である。 また、 \begin{align} \boldsymbol{a}_3 = \frac{5}{7} \boldsymbol{a}_1 + \frac{8}{7} \boldsymbol{a}_2 \end{align} である。 よって、例えば $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ は $V$ の基底である。
\begin{align} \boldsymbol{a}_2' &= \boldsymbol{a}_2 - \frac{\boldsymbol{a}_1}{|| \boldsymbol{a}_1 ||} \left( \frac{\boldsymbol{a}_1^T}{|| \boldsymbol{a}_1 ||} \boldsymbol{a}_2 \right) \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{10}{23} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{7}{23} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2'$ は $V$ の直交基底である。
求めるベクトル $\boldsymbol{b}'$ は、適当な実数 $s,t$ を使って \begin{align} \boldsymbol{b}' = s \boldsymbol{a}_1 + t \boldsymbol{a}_2' \end{align} と書ける。 また、 $\boldsymbol{b}'' = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}'$ とおくと、これは $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2'$ どちらとも直交する。 よって、 \begin{align} \boldsymbol{b} = s \boldsymbol{a}_1 + t \boldsymbol{a}_2' + \boldsymbol{b}'' \end{align} において、両辺に左から $\boldsymbol{a}_1^T$ をかけて \begin{align} \boldsymbol{a}_1^T \boldsymbol{b} &= s \boldsymbol{a}_1^T \boldsymbol{a}_1 \\ \therefore \ \ s &= - \frac{1}{23} \end{align} がわかり、両辺に左から $\boldsymbol{a}_2^{'T}$ をかけて \begin{align} \boldsymbol{a}_2^{'T} \boldsymbol{b} &= t \boldsymbol{a}_2^{'T} \boldsymbol{a}_2^{'T} \\ \therefore \ \ t &= \frac{3}{23} \end{align} がわかる。 よって、求めるベクトルは \begin{align} \boldsymbol{b}' &= - \frac{1}{23} \boldsymbol{a}_1 + \frac{3}{23} \boldsymbol{a}_2' \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} であることがわかる。