\begin{align} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-3x^2+4}{x^3-5x^2+8x-4} &= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2(x+1)}{(x-2)^2(x-1)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1} \\ &= 3 \end{align}
任意の実数 $x$ について $|\cos 2x + 1| \leq 2$ なので、 \begin{align} \lim_{x \to \infty} \frac{\cos 2x + 1}{x} &= 0 \end{align}
\begin{align} P(x) &= \frac{2}{x} \\ Q(y) &= \frac{1}{y} \\ R(x) &= 2 \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x}{x^2} = 2 \frac{1 - \log x}{x^2} \\ S(x) &= 2 \frac{1 - \log x}{x^2} y = 2 (1 - \log x) x^{\frac{2}{x}-2} \end{align}
\begin{align} \int \frac{x^4+3x^3-5x^2+4x+7}{x^2-2x+2} dx &= \int \left( x^2+5x+3 + \frac{1}{(x-1)^2+1} \right) dx \\ &= \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2} x^2 + 3x + \arctan (x-1) + C \ \ \ \ \ \ \ \ (C \text{ は積分定数}) \end{align}
\begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{4kx}{x^2+y^2+2} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= 4k \frac{(x^2+y^2+2) - x \cdot 2x}{(x^2+y^2+2)^2} \\ &= 4k \frac{-x^2+y^2+2}{(x^2+y^2+2)^2} \end{align}
(1) と同様にして \begin{align} \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= 4k \frac{x^2-y^2+2}{(x^2+y^2+2)^2} \end{align} なので、 \begin{align} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= \frac{16k}{(x^2+y^2+2)^2} \end{align} である。 一方、 \begin{align} -16e^z &= -16 e^{2k \log (x^2+y^2+2)} \\ &= -16 e^{\log (x^2+y^2+2)^{2k}} \\ &= -16 (x^2+y^2+2)^{2k} \end{align} である。 これらを見比べて $k=-1$ がわかる。