式 (1) において $x=0, y=0$ とおくと、 $f'(0)=0$ を得る。
式 (1) において $y=\mathrm{d}x$ とおくと \begin{align} f'(x) + f'(\mathrm{d}x) = f'(x + \mathrm{d}x) + x \mathrm{d}x \end{align} となり、 $\mathrm{d}x \ne 0$ のとき \begin{align} \frac{f'(x + \mathrm{d}x) - f'(x)}{\mathrm{d}x} = -x + \frac{f'(\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x} \end{align} であり、 $\mathrm{d}x \to 0$ とすると、式 (2) を考慮して、 \begin{align} f''(x) = -x + 3 \end{align} を得る。
(b) で得た微分方程式を $x$ について積分すると、 (a) で得た $f'(0)=0$ を考慮して、 \begin{align} f'(x) = - \frac{1}{2} x^2 + 3x \end{align} である。 さらに $x$ について積分して、 \begin{align} f(x) = - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は任意定数 ) } \end{align} を得る。