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広島大学 大学院 先進理工系科学研究科
輸送・環境システムプログラム
2022年8月実施 専門科目I 数学 問題1




(1)

x3log3xdx=14x4log3x14x3dx=14x4log3x116x4+C        (C は積分定数 )

(2)

0x2e2xdx=12[x2e2x]0+0xe2xdx=12[xe2x]0+120e2xdx=14[e2x]0=14

(3)

f(x,y)=logx2+y2=12log(x2+y2)f(x,y)x=122xx2+y2=xx2+y22f(x,y)2x=(x2+y2)x2x(x2+y2)2=x2+y2(x2+y2)22f(x,y)2y=x2y2(x2+y2)2

(4)

まず、与えられた微分方程式に y=Ax+BA,Bx によらない定数)を代入すると、 \begin{align} A &= 3 + x + Ax + B \therefore \ \ A = -1, B = -4 \end{align} となるので、 \begin{align} y = -x-4 \end{align} は特殊解である。 また、 \begin{align} \frac{dy}{dx} = y \end{align} を考えると、これの一般解は \begin{align} y = Ce^x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = Ce^x - x - 4 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。