\begin{align} \int x^3 \log 3x dx &= \frac{1}{4} x^4 \log 3x - \frac{1}{4} \int x^3 dx \\ &= \frac{1}{4} x^4 \log 3x - \frac{1}{16} x^4 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty x^2 e^{-2x} dx &= - \frac{1}{2} \left[ x^2 e^{-2x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty x e^{-2x} dx \\ &= - \frac{1}{2} \left[ x e^{-2x} \right]_0^\infty + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-2x} dx \\ &= - \frac{1}{4} \left[ e^{-2x} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{4} \end{align}
\begin{align} f(x,y) &= \log \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \frac{1}{2} \log \left( x^2 + y^2 \right) \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} &= \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2} \\ &= \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x} &= \frac{\left( x^2 + y^2 \right) - x \cdot 2x}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \\ &= \frac{-x^2 + y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 y} &= \frac{x^2 - y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \\ \therefore \ \ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial^2 y} &= 0 \end{align}
まず、与えられた微分方程式に $y=Ax+B$ （ $A,B$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} A &= 3 + x + Ax + B \therefore \ \ A = -1, B = -4 \end{align} となるので、 \begin{align} y = -x-4 \end{align} は特殊解である。 また、 \begin{align} \frac{dy}{dx} = y \end{align} を考えると、これの一般解は \begin{align} y = Ce^x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = Ce^x - x - 4 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
同次微分方程式 \begin{align} y''(t) + \omega_0^2 y(t) = 0 \end{align} の一般解は \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるから、 (3-1) の特解を $\eta(t)$ とすると、 (3-1) の一般解は \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t + \eta(t) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
\begin{align} y''(t) + \omega_0^2 y(t) = a \sin \omega t \tag{a} \end{align} に $y(t) = C \sin \omega t + D \cos \omega t$ （ $C,D$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} - C \omega^2 \sin \omega t - D \omega^2 \cos \omega t + \omega_0^2 \left( C \sin \omega t + D \cos \omega t \right) = a \sin \omega t \end{align} となり、 $\omega \ne \omega_0$ を仮定して、 \begin{align} C = \frac{a}{\omega_0^2 - \omega^2} , \ D = 0 \end{align} を得るから、 \begin{align} y(t) = \frac{a \sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align} は (a) の特解であり、したがって、 \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t + \frac{a \sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} は (a) の一般解である。
\begin{align} \lim_{\omega \to \omega_0} \frac{\sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} &= \lim_{\omega \to \omega_0} \frac{t \cos \omega t}{- 2 \omega} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ ロピタルの定理 } ) \\ &= - \frac{t \cos \omega_0 t}{2 \omega_0} \end{align} であるから、求める解は \begin{align} y(t) &= A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t - \frac{a t \cos \omega_0 t}{2 \omega_0} \\ &= A \sin \omega_0 t + \left( B - \frac{a t}{2 \omega_0} \right) \cos \omega_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。