∫x3log3xdx=14x4log3x−14∫x3dx=14x4log3x−116x4+C (C は積分定数 )
∫∞0x2e−2xdx=−12[x2e−2x]∞0+∫∞0xe−2xdx=−12[xe−2x]∞0+12∫∞0e−2xdx=−14[e−2x]∞0=14
f(x,y)=log√x2+y2=12log(x2+y2)∂f(x,y)∂x=122xx2+y2=xx2+y2∂2f(x,y)∂2x=(x2+y2)−x⋅2x(x2+y2)2=−x2+y2(x2+y2)2∂2f(x,y)∂2y=x2−y2(x2+y2)2∴
まず、与えられた微分方程式に y=Ax+B ( A,B は x によらない定数)を代入すると、 \begin{align} A &= 3 + x + Ax + B \therefore \ \ A = -1, B = -4 \end{align} となるので、 \begin{align} y = -x-4 \end{align} は特殊解である。 また、 \begin{align} \frac{dy}{dx} = y \end{align} を考えると、これの一般解は \begin{align} y = Ce^x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = Ce^x - x - 4 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。