同次微分方程式 \begin{align} y''(t) + \omega_0^2 y(t) = 0 \end{align} の一般解は \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるから、 (3-1) の特解を $\eta(t)$ とすると、 (3-1) の一般解は \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t + \eta(t) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
\begin{align} y''(t) + \omega_0^2 y(t) = a \sin \omega t \tag{a} \end{align} に $y(t) = C \sin \omega t + D \cos \omega t$ （ $C,D$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} - C \omega^2 \sin \omega t - D \omega^2 \cos \omega t + \omega_0^2 \left( C \sin \omega t + D \cos \omega t \right) = a \sin \omega t \end{align} となり、 $\omega \ne \omega_0$ を仮定して、 \begin{align} C = \frac{a}{\omega_0^2 - \omega^2} , \ D = 0 \end{align} を得るから、 \begin{align} y(t) = \frac{a \sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align} は (a) の特解であり、したがって、 \begin{align} y(t) = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t + \frac{a \sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} は (a) の一般解である。
\begin{align} \lim_{\omega \to \omega_0} \frac{\sin \omega t}{\omega_0^2 - \omega^2} &= \lim_{\omega \to \omega_0} \frac{t \cos \omega t}{- 2 \omega} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ ロピタルの定理 } ) \\ &= - \frac{t \cos \omega_0 t}{2 \omega_0} \end{align} であるから、求める解は \begin{align} y(t) &= A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t - \frac{a t \cos \omega_0 t}{2 \omega_0} \\ &= A \sin \omega_0 t + \left( B - \frac{a t}{2 \omega_0} \right) \cos \omega_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。