\begin{align} \frac{d \boldsymbol{p}(t)}{dt} &= \left( 2t, 1+t^2, 1-t^2 \right) \\ \left| \frac{d \boldsymbol{p}(t)}{dt} \right|^2 &= 2 \left( t^2 + 1 \right)^2 \end{align} なので、求める単位接ベクトルは \begin{align} \boldsymbol{e}_1 &= \frac{1}{\left| \frac{d \boldsymbol{p}(t)}{dt} \right|} \frac{d \boldsymbol{p}(t)}{dt} \\ &= \frac{\left( 2t, 1+t^2, 1-t^2 \right)}{\sqrt{2} \left( t^2 + 1 \right)} \end{align} である。
\begin{align} \int_0^1 dt \left| \frac{d \boldsymbol{p}(t)}{dt} \right| &= \sqrt{2} \int_0^1 dt \left( t^2 + 1 \right) \\ &= \sqrt{2} \left[ \frac{t^3}{3} + t \right]_0^1 \\ &= \frac{4 \sqrt{2}}{3} \end{align}
曲線の弧長パラメータを $s$ とする： \begin{align} s &= \int_0^t d \tau \left| \frac{d \boldsymbol{p}(\tau)}{d\tau} \right| \\ &= \sqrt{2} \left( \frac{t^3}{3} + t \right) \\ \frac{ds}{dt} &= \sqrt{2} \left( t^2 + 1 \right) \end{align} このとき、 \begin{align} \frac{d \boldsymbol{e}_1}{ds} &= \frac{dt}{ds} \frac{d \boldsymbol{e}_1}{dt} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2} \left( t^2 + 1 \right)} \frac{ \left( \sqrt{2} \left( -t^2+1 \right), 0, -2 \sqrt{2} t \right)} { \left( t^2 + 1 \right)^2 } \\ &= \frac{ \left( \left( -t^2+1 \right), 0, -2 t \right)}{ \left( t^2 + 1 \right)^3 } \end{align} なので、求める曲率は \begin{align} \left| \frac{d \boldsymbol{e}_1}{ds} \right| &= \frac{1}{t^2 + 1} \end{align} である。