まず、 $y=g(x)$ が $(x,y)=(1,1)$ を通ることから、 $a_0=1$ がわかる。
次に、 $t=x-1$ とおくと、 \begin{align} f(x,y) &= (t+1)^3 + (t+1) y - y^3 - 1 \\ &= t^3 + 3t^2 + 3t + (t+1)y - y^3 \\ g(x) &= 1 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots \\ f(x,g(x)) &= (-2a_1+4)t + (-3a_1^2+a_1-2a_2+3)t^2 + \cdots \end{align} である。 $1$ に十分近い $x$ （ $0$ に十分近い $t$ ）について $f(x,g(x))=0$ であることから、 \begin{align} -2a_1+4 &= 0, \ -3a_1^2+a_1-2a_2+3 = 0 \\ \therefore \ \ a_1 &= 2, \ a_2 = - \frac{7}{2} \end{align} がわかる。