与えられた微分方程式の右辺を $0$ とした方程式に $y = e^{\lambda t}$ （ $\lambda$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 $(\lambda + 2)^2 = 0$ を得るので、 この微分方程式の一般解は、積分定数を $A, B$ として、 \begin{align} y(t) = (A+Bt) e^{-2t} \end{align} である。 与えられた微分方程式に $y = C e^t$ （ $C$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 $C = 1/9$ を得るので、 $y(t) = (1/9) e^t$ は特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A, B$ として、 \begin{align} y(t) = (A+Bt) e^{-2t} + \frac{1}{9} e^t \end{align} である。
さらに、 \begin{align} \frac{dy}{dt}(t) = B e^{-2t} - 2(A+Bt) e^{-2t} + \frac{1}{9} e^t \end{align} となるから、与えられた初期条件より、 \begin{align} 0 &= y(0) = A + \frac{1}{9} \\ 1 &= \frac{dy}{dt}(0) = B - 2A + \frac{1}{9} \end{align} であり、 \begin{align} A = - \frac{1}{9} , \ \ B = \frac{6}{9} \end{align} がわかる。 以上より、求める解は \begin{align} y(t) = \frac{1}{9} \left( (6t-1) e^{-2t} + e^t \right) \end{align} である。
[参考] 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」
(i) まず、被積分関数が $0$ になるので $b_0=0$ であり、 被積分関数が奇関数になるので $n = 1, 2, \cdots$ について $b_n=0$ である。 次に、 \begin{align} a_0 &= \int_{-1}^1 x^2 \ dx = \frac{2}{3} \end{align} また、 $n = 1, 2, \cdots$ について \begin{align} a_n &= \int_{-1}^1 x^2 \cos (n \pi x) dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x^2 \sin (n \pi x) \right]_{-1}^1 - \frac{2}{n \pi} \int_{-1}^1 x \sin (n \pi x) dx \\ &= - \frac{2}{n^2 \pi^2} \left[ x \cos (n \pi x) \right]_{-1}^1 + \frac{2}{n^2 \pi^2} \int_{-1}^1 \cos (n \pi x) dx \\ &= \frac{4 \cdot (-1)^n}{n^2 \pi^2} \end{align}
(ii) 今の場合のフーリエ級数展開の式は \begin{align} x^2 = \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos (n \pi x) \end{align} となるので、 $x=1$ として、 \begin{align} 1 &= \frac{1}{3} + \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \\ \therefore \ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \end{align} を得る。