段階 $\alpha = a,b,c,d$ において、気体が外部にした仕事を $W_\alpha$ とし、気体が吸収した熱量を $Q_\alpha$ とする。 \begin{align} W_a &= \int_{V_A}^{V_B} p dV \\ &= nRT_2 \int_{V_A}^{V_B} \frac{dV}{V} \\ &= nRT_2 \ln \frac{V_B}{V_A} \\ Q_a &= W_a & ( \because \text{ 等温なので内部エネルギーの変化がない } ) \\ &= nRT_2 \ln \frac{V_B}{V_A} \\ W_b &= \int_{V_B}^{V_C} p dV \\ &= p_B V_B^\gamma \int_{V_B}^{V_C} V^{- \gamma} dV & ( p_B \text{ は B での圧力} ) \\ &= nRT_2 V_B^{\gamma-1} \frac{V_C^{-\gamma+1} - V_B^{-\gamma+1}}{-\gamma+1} \\ &= nRT_2 \frac{1 - \left( \frac{V_B}{V_C} \right)^{\gamma-1}}{\gamma-1} \\ Q_b &= 0 \\ W_c &= nRT_1 \ln \frac{V_D}{V_C} & ( \because W_a \text{ と同様 } ) \\ Q_c &= nRT_1 \ln \frac{V_D}{V_C} & ( \because Q_a \text{ と同様 } ) \\ W_d &= nRT_1 \frac{1 - \left( \frac{V_D}{V_A} \right)^{\gamma-1}}{\gamma-1} & ( \because W_b \text{ と同様 } ) \\ Q_d &= 0 \end{align}
\begin{align} \eta &= \frac{W_a+W_b+W_c+W_d}{Q_a} \\ &= \frac{Q_a+Q_c}{Q_a} & ( \because \text{ サイクルで気体の内部エネルギーは変化しない } ) \\ &= \frac{T_2 \ln \frac{V_B}{V_A} + T_1 \ln \frac{V_D}{V_C}} {T_2 \ln \frac{V_B}{V_A}} & ( \because \text{ 2-2-1) } ) \end{align} であるが、 $p_B V_B = nRT_2, \ p_C V_C = nRT_1, \ p_B V_B^\gamma = p_C V_C^\gamma$ より \begin{align} V_C = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^\frac{1}{\gamma-1} V_B \end{align} が成り立ち、同様に \begin{align} V_A = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^\frac{1}{\gamma-1} V_D \end{align} が成り立つので、 \begin{align} \frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D} \end{align} であり、 \begin{align} \eta = \frac{T_2-T_1}{T_2} \end{align} がわかる。