任意の $\boldsymbol{w} \in W$ について \begin{align} \boldsymbol{w} = \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_i \end{align} となる $a_1, a_2, \cdots, a_k \in \mathbb{R}$ が存在し、 この $\boldsymbol{w}$ について \begin{align} P \boldsymbol{w} &= \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_j \boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}_i \\ &= \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_j \delta_{ij} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \delta_{ij} \text{ はクロネッカーのデルタ } ) \\ &= \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_i \\ &= \boldsymbol{w} \end{align} が成り立つ。 また、任意の $\boldsymbol{w}' \in W^\perp$ について $\boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}' = 0 \ \ (j=1,2,\cdots,k)$ なので、 \begin{align} P \boldsymbol{w}' &= \sum_{j=1}^k \boldsymbol{w}_j \boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}' \\ &= \boldsymbol{0} \end{align} が成り立つ。 よって、 $P$ で定まる線形変換は $\mathbb{R}^n$ から $W$ への正射影である。
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \left( A - \lambda I \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( I \text{ は4次単位行列 } ) \\ &= \lambda^4 - 4 \lambda^2 + 4 \\ &= \left( \lambda + \sqrt{2} \right)^2 \left( \lambda - \sqrt{2} \right)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= \pm \sqrt{2} \end{align} である。
(i) 固有値 $\lambda_1 = - \sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 & -1 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $ a = c + \sqrt{2} d , \ b = - \sqrt{2} c - d $ なので、この固有値に属する固有空間 $W_1$ は2次元であり、 基底として例えば \begin{align} \boldsymbol{u}_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_{12} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がある。 そこで、 \begin{align} \boldsymbol{v}_{11} &= \frac{\boldsymbol{u}_{11}}{\left| \boldsymbol{u}_{11} \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{12}' &= \boldsymbol{u}_{12} - \left( \boldsymbol{v}_{11} \cdot \boldsymbol{u}_{12} \right) \boldsymbol{v}_{11} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{12} &= \frac{\boldsymbol{v}_{12}'}{\left| \boldsymbol{v}_{12}' \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align} とすると、 $\boldsymbol{v}_{11}, \boldsymbol{v}_{12}$ は $W_1$ の正規直交基底である。
(ii) 固有値 $\lambda_2 = \sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} - \sqrt{2} & 1 & 0 & -1 \\ 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 & - \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $ a = c - \sqrt{2} d , \ b = \sqrt{2} c - d $ なので、この固有値に属する固有空間 $W_2$ は2次元であり、 基底として例えば \begin{align} \boldsymbol{u}_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_{22} = \begin{pmatrix} - \sqrt{2} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がある。 そこで、 \begin{align} \boldsymbol{v}_{21} &= \frac{\boldsymbol{u}_{21}}{\left| \boldsymbol{u}_{21} \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{22}' &= \boldsymbol{u}_{22} - \left( \boldsymbol{v}_{21} \cdot \boldsymbol{u}_{22} \right) \boldsymbol{v}_{21} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{22} &= \frac{\boldsymbol{v}_{22}'}{\left| \boldsymbol{v}_{22}' \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align} とすると、 $\boldsymbol{v}_{21}, \boldsymbol{v}_{22}$ は $W_2$ の正規直交基底である。
(i), (ii) より、 \begin{align} Q &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_{11} & \boldsymbol{v}_{12} & \boldsymbol{v}_{21} & \boldsymbol{v}_{22} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align} とおくと、これは $A$ を対角化する直交行列である。
$\lambda_1, \lambda_2, W_1, W_2, \boldsymbol{v}_{11}, \boldsymbol{v}_{12}, \boldsymbol{v}_{21}, \boldsymbol{v}_{22} $ を (1) の通りとする。 $W_1, W_2$ のそれぞれへの正射影 $P_1, P_2$ は \begin{align} P_1 &= \boldsymbol{v}_{11} \boldsymbol{v}_{11}^T + \boldsymbol{v}_{12} \boldsymbol{v}_{12}^T \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 2 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 2 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} ,\\ P_2 &= \boldsymbol{v}_{21} \boldsymbol{v}_{21}^T + \boldsymbol{v}_{22} \boldsymbol{v}_{22}^T \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} \end{align} である。
$\lambda_1, \lambda_2, P_1, P_2$ を (2) の通りとすると、 \begin{align} A = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \end{align} が成り立つ。