時刻を $t$ で表し、微分 $d/dt$ をドット $\dot{}$ で表す。
\begin{align} x = x , \ \ y = \alpha \sin \theta , \ \ z = - \alpha \cos \theta \end{align}
\begin{align} \dot{y} = \alpha \dot{\theta} \cos \theta , \ \ \dot{z} = \alpha \dot{\theta} \sin \theta \end{align} なので、求めるラグランジアンは \begin{align} L \left( x, \theta, \dot{x}, \dot{\theta} \right) &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - mgz \\ &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \alpha^2 \dot{\theta}^2 \right) + mg \alpha \cos \theta \end{align} である。
\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= \frac{d}{dt} m \dot{x} = m \ddot{x} ,\\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 0 ,\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{d}{dt} m \alpha^2 \dot{\theta} = m \alpha^2 \ddot{\theta} ,\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= - mg \alpha \sin \theta \end{align} なので、ラグランジュ方程式は \begin{align} \ddot{x} = 0 , \ \ \alpha \ddot{\theta} = - g \sin \theta \end{align} となる。