円環の中心の x 座標は \begin{align} X = a \theta \end{align} であり、質点の座標は \begin{align} x &= X - a \sin \theta = a \theta - a \sin \theta ,\\ y &= - a \cos \theta \end{align} である。
\begin{align} \dot{x} &= a \dot{\theta} - a \dot{\theta} \cos \theta , \\ \dot{y} &= a \dot{\theta} \sin \theta \end{align} なので、求めるラグランジアンは \begin{align} L \left( \theta, \dot{\theta} \right) &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \dot{y}^2 \right) - mgy \\ &= ma^2 \dot{\theta}^2 ( 1 - \cos \theta ) + mga \cos \theta \end{align} である。
\begin{align} p_\theta &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \\ &= 2ma^2 \dot{\theta} ( 1 - \cos \theta ) ,\\ H \left( \theta, p_\theta \right) &= \dot{\theta} p_\theta - L \\ &= 2ma^2 \dot{\theta}^2 ( 1 - \cos \theta ) - ma^2 \dot{\theta}^2 ( 1 - \cos \theta ) - mga \cos \theta \\ &= ma^2 \dot{\theta}^2 ( 1 - \cos \theta ) - mga \cos \theta \\ &= \frac{p_\theta^2}{4ma^2 ( 1 - \cos \theta )} - mga \cos \theta \end{align}
\begin{align} \dot{\theta} &= \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{2ma^2(1 - \cos \theta)} ,\\ \dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} = \frac{p_\theta^2 \sin \theta}{4ma^2 (1 - \cos \theta)^2} - mga \sin \theta \end{align}