東京大学 大学院 学際情報学府
学際情報学専攻 生物統計情報学コース
2020年度 専門科目

第1問 （必須問題）

(1-1)

イ. 61点

(1-2)

オ. (b), (e)

(1-3)

エ. 40

なぜなら、
\begin{align} E(Y) &= E(2X^2) = 2 E(X^2) = 2 \left( V(X) + E(X)^2 \right) \\ &= 2 \cdot \left( 4^2 + 2^2 \right) = 40 \end{align}

(1-4)

イ. 0.16

(1-5)

ウ. $ \rho $

(1-6)

ア. 0.1

(1-7)

エ. 62.5%

なぜなら、 \begin{align} 1 - {}_4 C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{5}{8} = 0.625 \end{align}

(1-8)

イ. 70

なぜなら、求める対象者数を $n$ とすると、 \begin{align} 0.99^n &= 0.5 \\ n \ln 0.99 &= \ln 0.5 \\ n \cdot \left( 0.99 - 1 \right) &\approx - 0.69 \\ n &\approx 69 \end{align}

(1-9)

イ. 1/2倍

(1-10)

イ. (b), (d)

(1-11)

オ. 0.0975

なぜなら、 \begin{align} 0.05 + 0.05 - 0.05^2 = 0.0975 \end{align}

(1-12)

エ. 0.85倍

なぜなら、 \begin{align} \frac{1.65}{1.96} \approx 0.8418 \end{align}

(1-13)

オ. (d)

(1-14)

オ. 535人

なぜなら、 \begin{align} 40 \cdot \frac{9}{10} + 4960 \cdot \frac{1}{10} = 532 \end{align}

(1-15)

オ. (b), (e)

参考： 東大統計学教室 「統計学入門」 12.4

(1-16)

イ. 登録期間

(1-17)

ウ. 40%

(1-18)

ウ.

(1-19)

エ.

(1-20)

ア. (a)

なぜなら、感度と特異度がともに1に近いところを通っているから。

第2問 （選択問題）

(2-1)

\begin{align} E[X_1] &= \int_{- \infty}^\infty x f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \int_0^\infty x \left( e^{- x / \gamma } \right)' dx \\ &= - \left[ x e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \gamma \left[ e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty \\ &= \gamma \end{align}

(2-2)

\begin{align} P \left( X_{(1)} \leq x \right) &= 1 - P \left( X_{(1)} \gt x \right) \\ &= 1 - P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \gt x \right) \\ &= 1 - P ( X_1 \gt x ) P ( X_2 \gt x ) \cdots P ( X_n \gt x ) \\ &= 1 - \left( \frac{1}{\gamma} \int_x^\infty e^{ - y / \gamma } dy \right)^n \\ &= 1 - \left( - \left[ e^{ - y / \gamma } \right]_x^\infty \right)^n \\ &= 1 - \left( e^{ - x / \gamma } \right)^n \\ &= 1 - e^{ - nx / \gamma } \end{align} であるから、 \begin{align} f_{(1)}(x; \gamma) &= \frac{d}{dx} \left( 1 - e^{ - nx / \gamma } \right) \\ &= \frac{n}{\gamma} e^{ - nx / \gamma } \\ E[X_{(1)}] &= \frac{\gamma}{n} \end{align}

(2-3)

(2-4)

\begin{align} T_n &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^n X_{(i)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_{(i)} - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \end{align} であるから、 \begin{align} E[T_n] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n E[X_i] - \frac{1}{n-1} E[X_{(1)}] \\ &= \frac{n \gamma}{n-1} - \frac{\gamma}{n(n-1)} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \gamma \end{align} より、 \begin{align} E[T_n] - \gamma &= \frac{1}{n} \gamma \end{align}