期待値, 分散をそれぞれ $E, V$ で表すと、 \begin{align} E(X) &= \int_{- \infty}^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty x e^{- \lambda |x - \mu| } dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty (y + \mu) e^{- \lambda |y| } dy \ \ \ \ \ \ \ \ ( y = x - \mu ) \\ &= \mu \\ E(X^2) &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty x^2 e^{- \lambda |x - \mu| } dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty (y^2 + 2 \mu y + \mu^2) e^{- \lambda |y| } dy \ \ \ \ \ \ \ \ ( y = x - \mu ) \\ &= \lambda \int_0^\infty y^2 e^{- \lambda y } dy + \mu^2 \\ \int_0^\infty y^2 e^{- \lambda y } dy &= - \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty y^2 \left( e^{- \lambda y } \right)' dy = - \frac{2}{\lambda} \int_0^\infty y e^{- \lambda y } dy \\ &= \frac{2}{\lambda^2} \int_0^\infty y \left( e^{- \lambda y } \right)' dy = \frac{2}{\lambda^2} \int_0^\infty e^{- \lambda y } dy \\ &= - \frac{2}{\lambda^3} \left[ e^{- \lambda y } \right]_0^\infty = \frac{2}{\lambda^3} \\ E(X^2) &= \lambda \cdot \frac{2}{\lambda^3} + \mu^2 = \frac{2}{\lambda^2} + \mu^2 \\ V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 = \frac{2}{\lambda^2} + \mu^2 - \mu^2 = \frac{2}{\lambda^2} \end{align}
(i) $ x \leq \mu $ のとき、 \begin{align} F(x) &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^x e^{ \lambda (z - \mu) } dz = \frac{1}{2} \left[ e^{ \lambda (z - \mu) } \right]_{- \infty}^x = \frac{1}{2} e^{ \lambda (x - \mu) } \end{align}
(ii) $ x \geq \mu $ のとき、 \begin{align} F(x) &= \frac{1}{2} + \frac{\lambda}{2} \int_\mu^x e^{ - \lambda (z - \mu) } dz = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left[ e^{ - \lambda (z - \mu) } \right]_\mu^x = 1 - \frac{1}{2} e^{ - \lambda (x - \mu) } \end{align}
求める $x$ の値を $x_0 (\gt \mu)$ とすると、 \begin{align} F(x_0) = 1 - \frac{1}{2} e^{ - \lambda (x_0 - \mu) } = 1 - \alpha \end{align} よって、 \begin{align} e^{ - \lambda (x_0 - \mu) } &= 2 \alpha \\ - \lambda (x_0 - \mu) &= \log 2 \alpha \\ \therefore \ \ x_0 &= \mu - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align}
\begin{align} x \gt - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align}
次のようにおく： \begin{align} x_1 = - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align} このとき、 \begin{align} e^{\lambda x_1} = \frac{1}{2 \alpha} , \ \ \ \ e^{- \lambda x_1} = 2 \alpha \end{align} である。
(i) $ \mu \geq x_1 $ のとき、 \begin{align} \beta_\lambda (\mu) &= \frac{1}{2} + \frac{\lambda}{2} \int_{x_1}^\mu e^{\lambda (x-\mu)} dx \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left[ e^{\lambda (x-\mu)} \right]_{x_1}^\mu \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( 1 - e^{\lambda (x_1-\mu)} \right) \\ &= 1 - \frac{1}{2} e^{\lambda (x_1-\mu)} \\ &= 1 - \frac{e^{- \lambda \mu}}{4 \alpha} \end{align}
(ii) $ 0 \lt \mu \leq x_1 $ のとき、 \begin{align} \beta_\lambda (\mu) &= \frac{\lambda}{2} \int_{x_1}^\infty e^{- \lambda (x-\mu)} dx \\ &= - \frac{1}{2} \left[ e^{- \lambda (x-\mu)} \right]_{x_1}^\infty \\ &= \frac{1}{2} e^{- \lambda (x_1-\mu)} \\ &= \alpha e^{\lambda \mu} \end{align}