$u=y^{-3}$ とおくと、 \begin{align} \frac{du}{dx} &= -3 y^{-4} \frac{dy}{dx} \\ &= -3 y^{-4} \left( x^2 y - e^{-x^3} y^4 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ (\because \text{(1)}) \\ &= - 3x^2u + 3e^{-x^3} \end{align} なので、 $u$ に関する微分方程式 \begin{align} \frac{du}{dx} &= - 3x^2u + 3e^{-x^3} \tag{2} \end{align} を得る。
まず、微分方程式 \begin{align} \frac{du}{dx} &= - 3x^2u \end{align} は、 \begin{align} \frac{du}{u} &= - 3x^2 dx \\ \therefore \ \ u &= A e^{-x^3} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A$ は積分定数 )} \end{align} と一般解が求まる。 そこで、 $A(x)$ を $x$ の適当な関数として、 (2) に $u=A(x)e^{-x^3}$ を代入して整理すると、 \begin{align} \frac{dA(x)}{dx} &= 3 \\ \therefore \ \ A(x) &= 3x + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} と求まるので、 (2) の一般解は \begin{align} u &= (3x + C) e^{-x^3} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} とわかる。 よって、(1) の一般解は \begin{align} y &= (3x + C)^{- \frac{1}{3}} e^x \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} とわかる。