(1) に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 \\ \therefore \ \ \left( \lambda - 1 \right) \left( \lambda - 3 \right) = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1, 3 \end{align} なので、(1) の一般解は \begin{align} y &= A e^x + B e^{3x} & \left( A, B \text{ は積分定数 } \right) \end{align} である。
(2) に $y = C \sin 2x + D \cos 2x$ （ $C, D$ は $x$ によらない定数）を代入して整理すると、 \begin{align} \left( - C + 8D \right) \sin 2x + \left( - 8C - D - 1 \right) \cos 2x = 0 \\ \therefore \ \ C = - \frac{8}{65}, \ \ D = - \frac{1}{65} \end{align} を得るので、 \begin{align} y = - \frac{8}{65} \sin 2x - \frac{1}{65} \cos 2x \end{align} は (2) の特殊解であり、 1. を考慮して、 \begin{align} y &= A e^x + B e^{3x} - \frac{8}{65} \sin 2x - \frac{1}{65} \cos 2x & \left( A, B \text{ は積分定数 } \right) \end{align} は (2) の一般解であることがわかる。
\begin{align} \frac{d^2 y}{dx^2} -4 \frac{d y}{dx} + 3y = x e^{-3x} \end{align} に $y = E e^{-3x} + Fx e^{-3x}$ （ $E, F$ は $x$ によらない定数）を代入して整理すると、 \begin{align} \left( 24E - 10F \right) + \left( 24F - 1 \right) x = 0 \\ \therefore \ \ E = \frac{5}{288}, \ \ F = \frac{1}{24} \end{align} を得るので、 2. も考慮して、 \begin{align} y = - \frac{8}{65} \sin 2x - \frac{1}{65} \cos 2x + \frac{5}{288} e^{-3x} + \frac{1}{24} x e^{-3x} \end{align} は (3) の特殊解であり、さらに 1. を考慮して、 \begin{align} y &= A e^x + B e^{3x} - \frac{8}{65} \sin 2x - \frac{1}{65} \cos 2x + \frac{5}{288} e^{-3x} + \frac{1}{24} x e^{-3x} & \left( A, B \text{ は積分定数 } \right) \end{align} は (3) の一般解であることがわかる。