まず、1粒子について考えると、空間積分は体積 $V$ となる。 また、運動量に関する積分は、1成分について、次のように計算できる： \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{- \beta \frac{p^2}{2m}} dp = \sqrt{\frac{2 \pi m}{\beta}} \end{align} よって、全体の分配関数は、 \begin{align} Z^{(g)}(V, \beta, N) &= \frac{1}{N!} \frac{V^N}{(2 \pi \hbar)^{3N}} \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^{3N/2} \\ &= \frac{V^N}{N!} \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3N/2} \end{align} となる。
\begin{align} Z_G^{(g)}(V, \beta, \mu) &= \sum_{N=0}^\infty Z^{(g)}(V, \beta, N) e^{\beta \mu N} \\ &= \sum_{N=0}^\infty \frac{V^N}{N!} \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3N/2} e^{\beta \mu N} \\ &= \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \left[ V \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} e^{\beta \mu} \right]^N \\ &= \exp \left[ V \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} e^{\beta \mu} \right] \end{align}
\begin{align} P(\beta, \mu) &= \frac{1}{\beta} \frac{\partial}{\partial V} \log Z_G^{(g)}(V, \beta, \mu) \\ &= \frac{1}{\beta} \frac{\partial}{\partial V} \left[ V \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} e^{\beta \mu} \right] \\ &= \frac{1}{\beta} \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right)^{3/2} e^{\beta \mu} \\ &= \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2} \frac{e^{\beta \mu}}{\beta^{5/2}} \end{align}
\begin{align} \xi_G^{(a)} (\beta, \mu) &= e^{-\beta \cdot 0} \cdot e^{\beta \mu \cdot 0} + e^{-\beta \cdot (-\varepsilon)} \cdot e^{\beta \mu \cdot 1} \\ &= 1 + e^{\beta (\mu + \varepsilon)} \end{align}
吸着格子全体の大分配関数は、 \begin{align} \Xi_G^{(a)} (\beta, \mu, N_a) &= \left( \xi_G^{(a)} (\beta, \mu) \right)^{N_a} \\ &= \left( 1 + e^{\beta (\mu + \varepsilon)} \right)^{N_a} \end{align} であり、グランドポテンシャルは、 \begin{align} \Omega (\beta, \mu, N_a) &= - \frac{1}{\beta} \log \Xi_G^{(a)} (\beta, \mu, N_a) \\ &= - \frac{N_a}{\beta} \log \left( 1 + e^{\beta (\mu + \varepsilon)} \right) \end{align} であり、よって、 \begin{align} N_a n_a &= - \frac{\partial \Omega (\beta, \mu, N_a)}{\partial \mu} \\ &= \frac{N_a}{\beta} \frac{e^{\beta (\mu + \varepsilon)} \cdot \beta} {1 + e^{\beta (\mu + \varepsilon)} } \\ &= N_a \frac{1}{1 + e^{- \beta (\mu + \varepsilon)} } \\ \therefore \ \ \ \ n_a &= \frac{1}{1 + e^{- \beta (\mu + \varepsilon)} } \end{align} である。
[3] より、 \begin{align} e^{- \beta \mu} = \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2} \frac{1}{\beta^{5/2} P} \end{align} であるから、これを [5] に代入して、 \begin{align} n_a &= \frac{1}{1 + \left( \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2} \frac{e^{- \beta \varepsilon}}{\beta^{5/2} P} } \end{align} を得る。