東京大学 大学院
情報理工学研究科 一般教育科目（数学）
2022年度 数学 第3問

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確率を $P$ ，期待値を $E$ で表す。

(1)

A の座標を $(X,Y)$ とすると、 $X,Y$ は互いに独立な確率変数であり、 それぞれ $0$ から $1$ までの一様分布に従う。 よって、求める期待値は、 $$\begin{align} E(S) &= E(XY) \\ &= E(X)E(Y) \\ &= \frac{1}{4} \end{align}$$

(2)

求める確率は、 $$\begin{align} P(S \leq r) &= r + \int_r^1 \frac{r}{x} dx \\ &= r + r \left[ \log x \right]_r^1 \\ &= r - r \log r \end{align}$$

(3)

$S$ の確率密度関数 $f(s)$ は、 $0 \lt s \lt 1$ では $$\begin{align} f(s) &= \frac{d}{ds} P(S \leq s) \\ &= - \log s \end{align}$$ であり、それ以外では $0$ である。

(4)

$0 \lt z \lt 1$ について $$\begin{align} P(Z \leq z) &= 1 - P(Z \gt z) \\ &= 1 - P(S_1 \gt z \text{ and } S_2 \gt z \text{ and } \cdots \text{ and } S_n \gt z ) \\ &= 1 - P(S_1 \gt z) P(S_2 \gt z) \cdots P(S_n \gt z) \\ &= 1 - \left( 1 - z + z \log z \right)^n \end{align}$$ よって、求める確率密度関数 $g(z)$ は、 $$\begin{align} g(z) &= \frac{d}{dz} P(Z \leq z) \\ &= -n \log z \left( 1 - z + z \log z \right)^{n-1} \end{align}$$ である。 また、 $z \lt 0, \ z \gt 1$ では $g(z)=0$ である。