確率を P ,期待値を E で表す。
A の座標を (X,Y) とすると、 X,Y は互いに独立な確率変数であり、 それぞれ 0 から 1 までの一様分布に従う。 よって、求める期待値は、 E(S)=E(XY)=E(X)E(Y)=14
求める確率は、 P(S≤r)=r+∫1rrxdx=r+r[logx]1r=r−rlogr
S の確率密度関数 f(s) は、 0<s<1 では f(s)=ddsP(S≤s)=−logs であり、それ以外では 0 である。
0<z<1 について P(Z≤z)=1−P(Z>z)=1−P(S1>z and S2>z and ⋯ and Sn>z)=1−P(S1>z)P(S2>z)⋯P(Sn>z)=1−(1−z+zlogz)n よって、求める確率密度関数 g(z) は、 g(z)=ddzP(Z≤z)=−nlogz(1−z+zlogz)n−1 である。 また、 z<0, z>1 では g(z)=0 である。