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東京大学 大学院
情報理工学研究科 一般教育科目(数学)
2022年度 数学 第3問




確率を P ,期待値を E で表す。

(1)

A の座標を (X,Y) とすると、 X,Y は互いに独立な確率変数であり、 それぞれ 0 から 1 までの一様分布に従う。 よって、求める期待値は、 E(S)=E(XY)=E(X)E(Y)=14

(2)

求める確率は、 P(Sr)=r+1rrxdx=r+r[logx]1r=rrlogr

(3)

S の確率密度関数 f(s) は、 0<s<1 では f(s)=ddsP(Ss)=logs であり、それ以外では 0 である。

(4)

0<z<1 について P(Zz)=1P(Z>z)=1P(S1>z and S2>z and  and Sn>z)=1P(S1>z)P(S2>z)P(Sn>z)=1(1z+zlogz)n よって、求める確率密度関数 g(z) は、 g(z)=ddzP(Zz)=nlogz(1z+zlogz)n1 である。 また、 z<0, z>1 では g(z)=0 である。