$f(x,y)$ は $x,y$ のそれぞれに関して1次式である。 また、2つの行が同じとき行列式は $0$ であるので、 $f(x_1, y_1)=0, \ f(x_2,y_2)=0$ もわかる。 よって、 $f(x,y)=0$ は2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を通る直線である。
\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\ 0 & x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1) \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\ x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1) \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1) (x_3-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_1+x_2 \\ 1 & x_3+x_1 \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1) (x_3-x_1) (x_3-x_2) \\ &= (x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_3-x_1) \end{align}
$a_0, a_1, a_2$ が満たすべき条件は \begin{align} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{align} である。 $x_1, x_2, x_3$ が互いに異なるとき、 (2) より、 \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} \ne 0 \end{align} であるから、逆行列 \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \end{align} が唯一存在し、 $a_0,a_1,a_2$ は \begin{align} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{align} のみである。 よって、条件を満たす曲線は唯一存在する。
\begin{align} y &= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & - x_1 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & x_1 x_2 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_2^2 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - x_2 x_3 (x_2-x_3) & - x_1 x_3 (x_3-x_1) & - x_1 x_2 (x_1-x_2) \\ (x_2+x_3)(x_2-x_3) & (x_3+x_1)(x_3-x_1) & (x_1+x_2)(x_1-x_2) \\ - (x_2-x_3) & - (x_3-x_1) & - (x_1-x_2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{-x_2x_3 + (x_2+x_3)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_3-x_1)} & \frac{-x_3x_1 + (x_3+x_1)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)} & \frac{-x_1x_2 + (x_1+x_2)x - x^2}{(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} y &= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{pmatrix}^{-1} \\ \therefore \ \ c_1 &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5) (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)} \\ & \ \ \ \ \times \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 x_4 x_5 \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^3 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5) (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)} \\ & \ \ \ \ \times \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 x_4 x_5 (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) \\ - (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5) \\ (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5) \\ - (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) \\ (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) \end{pmatrix} \\ &= \frac{ x_2 x_3 x_4 x_5 - (x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5) x + (x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5) x^2 - (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) x^3 + x^4 } {(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)} \end{align}