期待値を $E$, 分散を $V$ で表す。
\begin{align} \mathrm{Pr}[X=1] &= 2^{-1} = \frac{1}{2} \\ \mathrm{Pr}[X=2] &= 2^{-2} = \frac{1}{4} \\ \mathrm{Pr}[X=3] &= 2^{-3} = \frac{1}{8} \\ \mathrm{Pr}[X=4] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \\ \mathrm{Pr}[X=5] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \end{align} であるから、 \begin{align} \mathrm{Pr}[X \geq 1] &= 1 \\ \mathrm{Pr}[X \geq 2] &= \frac{1}{2} \\ \mathrm{Pr}[X \geq 3] &= \frac{1}{4} \\ \mathrm{Pr}[X \geq 4] &= \frac{1}{8} \\ \mathrm{Pr}[X \geq 5] &= \frac{1}{16} \end{align} である。 これは \begin{align} \mathrm{Pr}[X \geq a] &= \frac{1}{2^{a-1}} & (a = 1, 2, \cdots, 5) \end{align} とも書ける。
\begin{align} E[Z] &= E \left[ 2^X \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^a \mathrm{Pr}[X=a] \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + 32 \cdot \frac{1}{16} \\ &= 6 \\ E \left[ Z^2 \right] &= E \left[ 2^{2X} \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^{2a} \mathrm{Pr}[X=a] \\ &= 2^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^4 \cdot \frac{1}{4} + 2^6 \cdot \frac{1}{8} + 2^8 \cdot \frac{1}{16} + 2^{10} \cdot \frac{1}{16} \\ &= 94 \\ V[Z] &= E \left[ Z^2 \right] - E[Z]^2 \\ &= 58 \end{align}
(問1) と同様に考えると、 \begin{align} \mathrm{Pr}[X \geq a] &= \frac{1}{2^{a-1}} & (a = 1, 2, \cdots, k) \end{align} がわかる。 よって、 $a=1, 2, \cdots, k$ について \begin{align} \mathrm{Pr} [ Y_n \geq a ] &= \mathrm{Pr} [ X_1 \geq a \text{ and } X_2 \geq a \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \geq a ] \\ &= \mathrm{Pr} [X_1 \geq a] \mathrm{Pr} [X_2 \geq a] \cdots \mathrm{Pr} [X_n \geq a] & (\because X_1, X_2, \cdots, X_n \text{ は独立 } ) \\ &= \left( \frac{1}{2^{a-1}} \right)^n \\ &= \frac{1}{2^{(a-1)n}} \end{align} がわかる。
(問3) の結果から、 $a = 1,2, \cdots , k-1$ については \begin{align} \mathrm{Pr} [ Y_n = a ] &= \mathrm{Pr} [ Y_n \geq a ] - \mathrm{Pr} [ Y_n \geq a+1 ] \\ &= \frac{1}{2^{(a-1)n}} - \frac{1}{2^{an}} \\ &= \frac{2^n - 1}{2^{an}} \end{align} であり、 \begin{align} \mathrm{Pr} [ Y_n = k ] &= \mathrm{Pr} [ Y_n \geq k ] \\ &= \frac{1}{2^{(k-1)n}} \end{align} である。 よって、求める期待値は、次のようになる： \begin{align} E [ Y_n ] &= \sum_{a=1}^k a \mathrm{Pr} [ Y_n = a ] \\ &= (2^n-1) \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} + \frac{k}{2^{(k-1)n}} \\ &= (2^n-1) S + \frac{k}{2^{(k-1)n}} . \tag{1} \end{align} ここで、 \begin{align} S &= \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} \\ &= \frac{1}{2^n} + \frac{2}{2^{2n}} + \frac{3}{2^{3n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \tag{2} \end{align} とおいた。 これを $2^n$ 倍すると \begin{align} 2^n S &= 1 + \frac{2}{2^{n}} + \frac{3}{2^{2n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-2)n}} \tag{3} \end{align} となり、式 (3) から式 (2) を引いて \begin{align} (2^n-1) S &= 1 + \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \cdots + \frac{1}{2^{(k-2)n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}}}{1 - \frac{1}{2^n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \tag{4} \end{align} を得る。 最後に、式 (4) を式 (1) に代入して、 \begin{align} E [ Y_n ] &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}}}{1 - \frac{1}{2^n}} + \frac{1}{2^{(k-1)n}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}} + \left(1 - \frac{1}{2^n} \right) \frac{1}{2^{(k-1)n}}} {1 - \frac{1}{2^n}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2^{kn}}}{1 - \frac{1}{2^n}} \end{align} を得る。